Vecteurs et droites du plan/Exercices/Vecteurs

Exercice n^o 1

Soit $ABCD$ un parallélogramme.

1. Construire les points $E$, $F$, $G$ et $H$ tels que : ${\vec {AE}}=3{\vec {AB}}$, ${\vec {BF}}=3{\vec {BC}}$, ${\vec {CG}}=3{\vec {CD}}$ et ${\vec {DH}}=3{\vec {DA}}$.
2. Recopier et compléter l'égalité suivante en utilisant la relation de Chasles : ${\vec {EF}}={\vec {EA}}+\ldots +{\vec {BF}}$. En déduire l'expression du vecteur ${\vec {EF}}$ en fonction des vecteurs ${\vec {AB}}$ et ${\vec {BC}}$.
3. Donner une expression du vecteur ${\vec {HG}}$ en fonction des vecteurs ${\vec {DC}}$ et ${\vec {AD}}$.
4. Montrer que : ${\vec {EF}}={\vec {HG}}$. Que pouvez-vous en conclure ?

Solution

1. 

2. ${\begin{aligned}{\vec {EF}}&={\vec {EA}}+{\vec {AB}}+{\vec {BF}}\\&=-{\vec {AE}}+{\vec {AB}}+{\vec {BF}}\\&=-3{\vec {AB}}+{\vec {AB}}+3{\vec {BC}}\\{\vec {EF}}&=-2{\vec {AB}}+3{\vec {BC}}\end{aligned}}$

3. ${\begin{aligned}{\vec {HG}}&={\vec {HD}}+{\vec {DG}}\\&={\vec {HD}}+{\vec {DC}}+{\vec {CG}}\\&=-{\vec {DH}}-{\vec {CD}}+{\vec {CG}}\\&=-3{\vec {DA}}-{\vec {CD}}+3{\vec {CD}}\\&=-3{\vec {DA}}+2{\vec {CD}}\\{\vec {HG}}&=3{\vec {AD}}-2{\vec {DC}}\end{aligned}}$

4. Dans le parallélogramme ABCD,

   ${\begin{aligned}{\vec {AB}}&={\vec {DC}}\\{\vec {AD}}&={\vec {BC}}\end{aligned}}$

   donc

   ${\begin{aligned}{\vec {EF}}&=-2{\vec {AB}}+3{\vec {BC}}\\&=-2{\vec {DC}}+3{\vec {AD}}\\{\vec {EF}}&={\vec {HG}}\end{aligned}}$

 

Exercice n^o 2

Dans un repère $(O;{\vec {i}};{\vec {j}})$, on considère les points : $A(2;1)$, $B(5;3)$, $C(3;-3)$ et $D(6;-1)$.

1. Démontrer que $ABDC$ est un parallélogramme.
2. Soit $E$ le symétrique de $D$ par rapport à $B$. Calculer les coordonnées du point $E$.
3. Quelle est la nature du quadrilatère $ACBE$ ? Justifier votre réponse.

Solution

1. Dans le repère $(O;{\vec {i}};{\vec {j}})$ :

   ${\vec {AB}}{\begin{pmatrix}x_{B}-x_{A}\\y_{B}-y_{A}\end{pmatrix}}={\vec {AB}}{\begin{pmatrix}5-2\\3-1\end{pmatrix}}={\vec {AB}}{\begin{pmatrix}3\\2\end{pmatrix}}$

   ${\vec {CD}}{\begin{pmatrix}x_{D}-x_{C}\\y_{D}-y_{C}\end{pmatrix}}={\vec {CD}}{\begin{pmatrix}6-3\\-1-(-3)\end{pmatrix}}={\vec {CD}}{\begin{pmatrix}3\\2\end{pmatrix}}$

   ${\vec {AB}}{\begin{pmatrix}3\\2\end{pmatrix}}={\vec {CD}}{\begin{pmatrix}3\\2\end{pmatrix}}$

   Donc $ABDC$ est un parallélogramme.
2. $E$ est le symétrique de $D$ par rapport à $B$ donc $B$ est le milieu de $[ED]$.

   $x_{B}={\frac {x_{E}+x_{D}}{2}}$

   $\Leftrightarrow 2x_{B}=x_{E}+x_{D}$

   $\Leftrightarrow x_{E}=2x_{B}-x_{D}$

   $y_{B}={\frac {y_{E}+y_{D}}{2}}$

   $\Leftrightarrow 2y_{B}=y_{E}+y_{D}$

   $\Leftrightarrow y_{E}=2y_{B}-y_{D}$

   $E(2x_{B}-x_{D};2y_{B}-y_{D})$

   $\Leftrightarrow E(2x_{B}-x_{D};2y_{B}-y_{D})$

   $\Leftrightarrow E(2\times 5-6;2\times 3-(-1))$

   $\Leftrightarrow E(4;7)$

   Donc $E(4;7)$.

3. ${\vec {AC}}{\begin{pmatrix}3-2\\-3-1\end{pmatrix}}={\vec {AC}}{\begin{pmatrix}1\\-4\end{pmatrix}}$

   ${\vec {BE}}{\begin{pmatrix}7-5\\-5-3\end{pmatrix}}={\vec {BE}}{\begin{pmatrix}2\\-8\end{pmatrix}}$

   ${\vec {BE}}=2{\vec {AC}}$

   ${\vec {BE}}$ et ${\vec {AC}}$ sont colinéaires et ne sont pas de la même longueur donc $ACBE$ est un trapèze.

 

Exercice n^o 3

Soit $ABCD$ un rectangle. On note $E$ le symétrique de $C$ par rapport à $B$ et $F$ le symétrique de $A$ par rapport à $D$.

Le point $G$ est tel que : ${\vec {AG}}={\frac {2}{3}}{\vec {AB}}$.

1. On se place dans le repère $(A;{\vec {AB}};{\vec {AD}})$. Donner les coordonnées des points $A$, $B$, $C$ et $D$ dans ce repère (aucune justification nécessaire).
2. Calculer les coordonnées de $E$, $F$ et $G$.
3. Les points $E$, $F$ et $G$ sont-ils alignés ? Justifier la réponse.

Solution

1. Dans le repère $(A;{\vec {AB}};{\vec {AD}})$ :

   $A(0;0)$

   $B(1;0)$

   $C(1;1)$

   $D(0;1)$

2. $E$ est le symétrique de $C$ par rapport à $B$ donc $B$ est le milieu de $[EC]$ donc :

   $x_{B}={\frac {x_{E}+x_{C}}{2}}$

   $\Leftrightarrow 2x_{B}=x_{E}+x_{C}$

   $\Leftrightarrow x_{E}=2x_{B}-x_{C}$

   $y_{B}={\frac {y_{E}+y_{C}}{2}}$

   $\Leftrightarrow 2y_{B}=y_{E}+y_{C}$

   $\Leftrightarrow y_{E}=2y_{B}-y_{C}$

   $E(2x_{B}-x_{C};2y_{B}-y_{C})$

   $\Leftrightarrow E(2\times 1-1;2\times 0-1)$

   $\Leftrightarrow E(1;-1)$

   Donc $E(1;-1)$. $F$ est le symétrique de $A$ par rapport à $D$ donc $D$ est le milieu de $[AF]$ donc :

   $x_{D}={\frac {x_{A}+x_{F}}{2}}$

   $\Leftrightarrow 2x_{D}=x_{A}+x_{F}$

   $\Leftrightarrow x_{F}=2x_{D}-x_{A}$

   $y_{D}={\frac {y_{A}+y_{F}}{2}}$

   $\Leftrightarrow 2y_{D}=y_{A}+y_{F}$

   $\Leftrightarrow y_{F}=2y_{D}-y_{A}$

   $F(2x_{D}-x_{A};2y_{D}-y_{A})$

   $\Leftrightarrow F(2\times 0-0;2\times 1-0)$

   $\Leftrightarrow F(0;2)$

   Donc $F(0;2)$. On sait que ${\vec {AG}}={\frac {2}{3}}{\vec {AB}}$.

   $x_{G}-x_{A}={\frac {2}{3}}(x_{B}-x_{A})$

   $\Leftrightarrow x_{G}-x_{A}={\frac {2}{3}}x_{B}-{\frac {2}{3}}x_{A}$

   $\Leftrightarrow x_{G}={\frac {2}{3}}x_{B}+{\frac {1}{3}}x_{A}$

   $y_{G}-y_{A}={\frac {2}{3}}(y_{B}-y_{A})$

   $\Leftrightarrow y_{G}-y_{A}={\frac {2}{3}}y_{B}-{\frac {2}{3}}y_{A}$

   $\Leftrightarrow y_{G}={\frac {2}{3}}y_{B}+{\frac {1}{3}}y_{A}$

   $G({\frac {2}{3}}x_{B}+{\frac {1}{3}}x_{A};{\frac {2}{3}}y_{B}+{\frac {1}{3}}y_{A})$

   $\Leftrightarrow G({\frac {2}{3}}\times 1+{\frac {1}{3}}\times 0;{\frac {2}{3}}\times 0+{\frac {1}{3}}\times 0)$

   $\Leftrightarrow G({\frac {2}{3}};0)$

   Donc $G({\frac {2}{3}};0)$.

3. ${\vec {EG}}{\begin{pmatrix}{\frac {2}{3}}-1\\0-(-1)\end{pmatrix}}={\vec {EG}}{\begin{pmatrix}{\frac {-1}{3}}\\1\end{pmatrix}}$

   ${\vec {EF}}{\begin{pmatrix}0-1\\2-(-1)\end{pmatrix}}={\vec {EG}}{\begin{pmatrix}-1\\3\end{pmatrix}}$

   ${\vec {EF}}=3{\vec {EG}}$

   ${\vec {EF}}$ et ${\vec {EG}}$ sont colinéaires donc les points $E$, $F$ et $G$ sont alignés.

 

Exercice n^o 4

$ABC$ est un triangle. On note $M$, $N$ et $P$ les points tels que : ${\vec {AM}}={\frac {2}{3}}{\vec {AB}}$, ${\vec {AN}}=2{\vec {AC}}$ et ${\vec {BP}}={\frac {1}{2}}{\vec {BC}}$.

1. Exprimer ${\vec {MN}}$ et ${\vec {NP}}$ en fonction de ${\vec {AB}}$ et ${\vec {AC}}$.
2. Démontrer que les points $M$, $N$ et $P$ sont alignés.

Solution

1. ${\vec {MN}}={\vec {MA}}+{\vec {AN}}$

   $\Leftrightarrow {\vec {MN}}={\frac {-2}{3}}{\vec {AB}}+2{\vec {AC}}$

   ${\vec {NP}}={\vec {NA}}+{\vec {AB}}+{\vec {BP}}$

   $\Leftrightarrow {\vec {NP}}=-2{\vec {AC}}+{\vec {AB}}+{\frac {1}{2}}{\vec {BC}}$

   $\Leftrightarrow {\vec {NP}}=-2{\vec {AC}}+{\vec {AB}}-{\frac {1}{2}}{\vec {AB}}+{\frac {1}{2}}{\vec {AC}}$

   $\Leftrightarrow {\vec {NP}}={\frac {1}{2}}{\vec {AB}}-{\frac {3}{2}}{\vec {AC}}$

2. ${\frac {-4}{3}}{\vec {NP}}={\frac {-4}{3}}({\frac {1}{2}}{\vec {AB}}-{\frac {3}{2}}{\vec {AC}})$

   $\Leftrightarrow {\frac {-4}{3}}{\vec {NP}}={\frac {-2}{3}}{\vec {AB}}+2{\vec {AC}}={\vec {MN}}$

   $\Leftrightarrow {\vec {MN}}={\frac {-4}{3}}{\vec {NP}}$

   ${\vec {MN}}$ et ${\vec {NP}}$ sont colinéaires donc les points $M$, $N$ et $P$ sont alignés.

 

Exercice n^o 5

On donne les points $M(-3;0)$ et $N(2;1)$ deux points d'un repère $(O;I;J)$. La droite $(MN)$ coupe l'axe des ordonnées $OJ$ en $P$.

1. Calculer l'ordonnée $y_{P}$ du point $P$.
2. Trouvez le nombre $\lambda$ tel que ${\vec {MP}}=\lambda {\vec {MN}}$.

Solution

1. $P\in (MN)$ donc les points $M$, $N$ et $P$ sont alignés et les vecteurs ${\vec {MN}}$ et ${\vec {MP}}$ sont colinéaires. De plus $P\in (OJ)$ donc $x_{P}=0$.

   ${\vec {MN}}{\begin{pmatrix}2-(-3)\\1-0\end{pmatrix}}={\vec {MN}}{\begin{pmatrix}5\\1\end{pmatrix}}$

   ${\vec {MP}}{\begin{pmatrix}0-(-3)\\y_{P}-0\end{pmatrix}}={\vec {MN}}{\begin{pmatrix}3\\y_{P}\end{pmatrix}}$

   ${\vec {MN}}$ et ${\vec {MP}}$ sont colinéaires donc

   $5y_{P}-3\times 1=0$

   $\Leftrightarrow 5y_{P}=3$

   $\Leftrightarrow y_{P}={\frac {3}{5}}$

2. On cherche $\lambda$ tel que ${\vec {MP}}=\lambda {\vec {MN}}$.

   ${\vec {MN}}{\begin{pmatrix}5\\1\end{pmatrix}}$

   ${\vec {MP}}{\begin{pmatrix}3\\{\frac {3}{5}}\end{pmatrix}}$

   donc $\lambda$ est tel que ${\begin{cases}3=\lambda \times 5\\{\frac {3}{5}}=\lambda \times 1\end{cases}}$ donc

   ${\begin{cases}\lambda ={\frac {3}{5}}\\\lambda ={\frac {3}{5}}\end{cases}}$

   donc ${\vec {MP}}={\frac {3}{5}}{\vec {MN}}$