Vecteurs et repérage/Base et repère du plan

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Base et repère du plan
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Chapitre no 1
Leçon : Vecteurs et repérage
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Base de vecteursModifier

Sur le dessin suivant, on a représenté deux vecteurs   et   non colinéaires.

Maintenant, plaçons un vecteur   sur ce même dessin.

Est-il possible d'exprimer le vecteur   en fonction des vecteurs   et   ?

Pour s'aider, on va construire un quadrillage à partir des vecteurs   et   : les vecteurs   et   forment les deux côtés d'un parallélogramme.

On va maintenant mettre côte-à-côte plusieurs parallélogrammes de même dimension.

D'après les propriétés du parallélogramme, on obtient ainsi un quadrillage dont les lignes sont parallèles et régulièrement espacées.

On va alors tenter de relier le point A au point B en n'utilisant que les lignes du quadrillage.

On obtient ainsi :

 

Mais il y a bien d'autres possibilités de relier A à B. Que se passe-t-il si on choisit un autre chemin ?

Observons deux autres chemins :

On constate

  • pour le chemin vert :  
    ​ Et après simplification  
  • pour le chemin rouge :  
    ​ Et après simplification  

Dans chacun des cas étudiés on a toujours  .

Si l'on répète l'opération pour différents vecteurs, on peut exprimer n’importe quel vecteur en fonction de   et   :

  •   donc les coordonnées de   sont  .
  •   donc les coordonnées de   sont  .
  •   donc les coordonnées de   sont  .



Repère du planModifier

Reprenons le graphique précédent :

Comment décrire la position du point M ?

Pour déterminer un chemin pour rejoindre le point M, il est indispensable de choisir un point de départ. Ce point O sur le graphique suivant est appelé origine du repère. Il est alors possible de décrire le vecteur   en fonction des vecteurs   et  .