Vecteurs et repérage/Exercices/Points cocycliques

Le plan est rapporté au repère orthonormé $(O;{\vec {i}},{\vec {j}})$.

On considère les points $A(-8,1)$, $B(-7,4)$, $C(2,1)$ et $D(-6,7)$.

1. Placer ces points dans le repère.
2. Démontrer que le triangle $ABC$ est rectangle en $B$.
3. Démontrer que $A$, $B$ et $D$ sont alignés et déterminer le réel $k$ tel que ${\overrightarrow {AD}}=k{\overrightarrow {AB}}$.
4. La parallèle à $(BC)$ menée par $D$ coupe $(AC)$ en $I$. Déterminer les coordonnées de $I$.
5. Soit $J$ le pied de la hauteur issue de $B$ du triangle $ABC$. Déterminer les coordonnées de $J$.
6. Démontrer que les points $B$, $D$, $I$ et $J$ se trouvent sur un même cercle, dont on déterminera le centre et le rayon.

Solution

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2. ${\vec {AB}}\cdot {\vec {BC}}=(1,3)\cdot (9,-3)=1\times 9+3\times (-3)=0$.
3. ${\vec {AD}}=2{\vec {AB}}$.
4. ${\vec {AI}}=2{\vec {AC}}$ (d'après le théorème de Thalès) donc $I$ a pour coordonnées $(-8,1)+2(10,0)=(12,1)$.
5. $J$ a même ordonnée $1$ que $A$ et $C$, et même abscisse $-7$ que $B$.
6. $BDI$ est rectangle en $D$ (d'après les questions 2 et 3) et $BJI$ est rectangle en $J$ (par construction) donc $D$ et $J$ sont sur le cercle de diamètre $[BI]$.
   Le rayon de ce cercle est $DI/2=BC={\sqrt {9^{2}+(-3)^{2}}}=3{\sqrt {10}}\approx 9{,}49$ et son centre a pour coordonnées ${\frac {(-7,4)+(12,1)}{2}}=(5/2,5/2)$.