Loi (mathématiques)/Loi interne

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Définition

Définition

Une loi de composition interne $\star$ sur un ensemble X est une application : $\star :X\times X\rightarrow X$. Au lieu d’utiliser une notation fonctionnelle $\star (x,y)$ on utilise une notation en loi : $x\star y$.

Un ensemble muni d'une loi interne est appelé un magma.

Début de l'exemple

Exemples

1. Dans l'ensemble des parties d'un ensemble X, la loi de composition qui au couple (A, B) fait correspondre l’intersection de A et B.
2. Dans l’ensemble des parties d'un ensemble X, la loi de composition qui au couple (A, B) fait correspondre l'union de A et B.
3. Dans l’ensemble des parties d'un ensemble X, la loi de composition qui au couple (A, B) fait correspondre la différence (ensembliste) A – B.
4. L'addition dans l’ensemble des entiers naturels, ou dans l'ensemble des réels ;
5. La multiplication dans l’ensemble des entiers naturels, ou dans l'ensemble des réels ;

Fin de l'exemple

Les ensembles dont on parle ici peuvent donc être finis comme dans les exemples 1 à 3 (ci-dessus) ou infinis pour les deux derniers exemples.

Loi commutative

Définition

Une loi interne $\star$ sur un ensemble X est dite commutative si, pour tous éléments x, y de X, $x\star y=y\star x.$

Début de l'exemple

Exemples

• L'intersection de deux parties d'un ensemble, la réunion de deux parties d'un ensemble, l'addition et la multiplication dans l’ensemble des entiers naturels ou dans celui des réels sont des lois commutatives.
• Si X est un ensemble non vide, la loi interne dans l’ensemble des parties de X qui applique (A, B) sur la différence A – B n’est pas commutative (faire par exemple A = X et B = $\varnothing$).
• La soustraction ${\begin{matrix}\mathbb {R} \times \mathbb {R} &\rightarrow &\mathbb {R} \\(x,y)&\mapsto &x-y\end{matrix}}$ est une loi interne non commutative.

Fin de l'exemple

Loi associative

Définition

Une loi interne $\star$ sur un ensemble X est dite associative si, pour tous éléments x, y et z de X, $(x\star y)\star z=x\star (y\star z)$.

Début de l'exemple

Exemples

Dans $\mathbb {R}$ :

• l'addition est associative ;
• la soustraction n’est pas associative.

Fin de l'exemple

Élément neutre

Définition

Soit $\star$ une loi interne sur un ensemble X. On dit qu'un élément e de X est un élément neutre pour cette loi si, pour tout élément x de X, $x\star e=e\star x=x$.

Un élément neutre pour une loi notée multiplicativement est généralement noté 1. Un élément neutre pour une loi notée additivement est généralement noté 0.

Début d’un théorème

Théorème

Une loi interne admet au plus un élément neutre.

Fin du théorème

Démonstration

Soient e₁ et e₂ des éléments neutres pour une même loi interne $\star$. Puisque e₁ est neutre, $e_{1}\star e_{2}=e_{2}$ ; puisque e₂ est neutre, $e_{1}\star e_{2}=e_{1}.$ Ainsi, e₁ et e₂ sont tous deux égaux à $e_{1}\star e_{2}$ et sont donc égaux entre eux.

 

Élément idempotent

Définition

Un élément $x$ est dit idempotent pour une loi interne $\star$ si $x\star x=x$.

Élément simplifiable

Définition

Soient $\star$ une loi interne sur un ensemble E et $a$ un élément de E. On dit que $a$ est :

• simplifiable à gauche (ou encore régulier à gauche) si, pour tous éléments $x$ et $y$ de E, la relation $a\star x=a\star y$ entraîne $x=y$ ;
• simplifiable à droite (ou encore régulier à droite) si, pour tous éléments $x$ et $y$ de E, la relation $x\star a=y\star a$ entraîne $x=y$ ;
• simplifiable (ou encore régulier) s'il est simplifiable à gauche et à droite.

On dit que le magma $(E,\star )$ est régulier (resp. régulier à gauche, resp. à droite) si tout élément de $E$ est régulier (resp. régulier à gauche, resp. à droite).