Ensemble (mathématiques)/Opérations

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Intersection

Définition

On appelle intersection de deux ensembles E et F l’ensemble des éléments qui appartiennent à la fois à E et F. Cet ensemble se note $E\cap F$ et se lit « E inter F ».

La définition formelle s'écrit : $E\cap F=\{x\mid x\in E{\text{ et }}x\in F\}$.

Début de l'exemple

Exemple

Soient A = { 2, 3, 5, 9 } et B = { 0, 2, 3 }. L'intersection de A et B est l’ensemble $A\cap B=\{2,3\}$.

Fin de l'exemple

Définition

Deux ensembles E et F sont dits disjoints lorsque leur intersection est vide, ce qui s'écrit $E\cap F=\varnothing$.

Il ne faut pas confondre distincts avec disjoints. Deux ensembles disjoints n'ont pas d'élément en commun, alors que deux ensembles distincts peuvent en avoir. Pour que deux ensembles soient distincts (il faut et) il suffit qu’il existe un élément appartenant à l'un mais pas à l'autre.

Réunion

Définition

On appelle réunion de deux ensembles E et F l’ensemble des éléments qui appartiennent à E ou à F (éventuellement les deux). Cet ensemble se note $E\cup F$ et se lit « E union F ».

La définition formelle s'écrit : $E\cup F=\{x\mid x\in E{\text{ ou }}x\in F\}$.

Début de l'exemple

Exemple

Soient A = { 2, 3, 5, 7 } et B = { 0, 2, 3 }. La réunion de A et B est l’ensemble $A\cup B=\{0,2,3,5,7\}$.

Fin de l'exemple

Différence

Définition

Soient E et F deux ensembles quelconques. On appelle différence de E et F l’ensemble des éléments qui appartiennent à E mais pas à F. Cet ensemble se note $E\setminus F$ et se lit « E privé de F », ou « E moins F ».

La définition formelle s'écrit : $E\setminus F=\{x\mid x\in E{\text{ et }}x\notin F\}$.

Si $E$ et $F$ sont des ensembles de nombres, la notation $E-F$ est à réserver à la différence algébrique. Par exemple : $[0,2]\setminus [1,3]=\left[0,1\right[$, tandis que $[0,2]-[1,3]=[-3,1]$.

Différence symétrique

Définition

Soient E et F deux ensembles quelconques. On appelle différence symétrique de E et F l’ensemble des éléments qui appartiennent à E ou à F mais pas aux deux à la fois. Cet ensemble se note $E\Delta F$ et se lit « E delta F ».

La définition formelle s'écrit :

${\begin{aligned}E\Delta F&=\{x\mid \left(x\in E{\text{ et }}x\notin F\right){\text{ ou }}\left(x\in F{\text{ et }}x\notin E\right)\}\\&=(E\cup F)\setminus (E\cap F).\end{aligned}}$

Complémentaire

Définition

Soient U un ensemble quelconque et A une partie quelconque de U. On appelle complémentaire de A par rapport à U (ou de A dans U) ou encore différence de U et de A l’ensemble des éléments qui appartiennent à U mais pas à A.

Cet ensemble se note $\complement _{U}A$ ou $U\setminus A$ ou $A^{\operatorname {c} }$.