Équation de bilan de la quantité de mouvement/Forme locale

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En exprimant la forme globale

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$\int \!\!\!\!\!\int \!\!\!\!\!\int _{V}\left({\frac {\partial (\rho {{\overrightarrow {v}})}}{\partial t}}+{\overrightarrow {\mathrm {div} }}\left(\rho {\overrightarrow {v}}\otimes {\overrightarrow {v}}\right)\right)\mathrm {d} V=\int \!\!\!\!\!\int \!\!\!\!\!\int _{V}{\overrightarrow {f_{V}}}\,\mathrm {d} V+\int \!\!\!\!\!\int \!\!\!\!\!\int _{V}{\overrightarrow {\hbox{div}}}\ {\overline {\overline {\mathrm {\tau } }}}{\mathrm {d} V}$,

il vient la forme conservative de l'équation de bilan de la quantité de mouvement :

${\frac {\partial (\rho {\overrightarrow {v}})}{\partial t}}+{\overrightarrow {\mathrm {div} }}\left(\rho {\overrightarrow {v}}\otimes {\overrightarrow {v}}\right)={\overrightarrow {f_{V}}}+{\overrightarrow {\hbox{div}}}\ {\overline {\overline {\mathrm {\tau } }}}$,

qui peut aussi s'exprimer sous sa forme non-conservative :

$\rho {\frac {\mathrm {d} {\overrightarrow {v}}}{\mathrm {d} t}}={\overrightarrow {f_{V}}}+{\overrightarrow {\hbox{div}}}\ {\overline {\overline {\mathrm {\tau } }}}\ \ \Longleftrightarrow \ \ \rho \,{\frac {\partial {\overrightarrow {v}}}{\partial t}}+\rho \left({\overrightarrow {v}}\cdot {\overrightarrow {\mathrm {grad} }}\right){\overrightarrow {v}}={\overrightarrow {f_{V}}}+{\overrightarrow {\hbox{div}}}\ {\overline {\overline {\mathrm {\tau } }}}$.

Il est également commode d'écrire cette équation avec la notation indicielle d'Einstein :

$\rho {\dfrac {\partial v_{i}}{\partial t}}+\rho v_{j}{\dfrac {\partial v_{i}}{\partial x_{j}}}=f_{Vi}+{\dfrac {\partial \tau _{ij}}{\partial x_{j}}}$

Avec une somme sur chaque j, et $\tau _{ij}$représente la composante i,j du tenseur des contraintes visqueuses.

Remarque : $f_{Vi}$contient différentes contributions. Notamment la pesanteur et les forces de pression. En l'absence d'autres forces volumiques, elle s'écrit de cette manière : $f_{vi}=\rho g_{i}-{\dfrac {\partial p}{\partial x_{i}}}$