Équation de bilan de la quantité de mouvement/Forme globale

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Leçon : Équation de bilan de la quantité de mouvement
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La forme globale de l'équation de bilan de la quantité de mouvement est un équation équivalente à la forme générale du principe fondamental de la dynamique. Pour un volume donné, on peut écrire que la dérivée totale de la quantité de mouvement est égale à la somme des forces qui s'exercent sur le fluide contenu dans le volume .

.


Il existe deux familles de forces :

  • les forces de contact, surfaciques (pression, viscosité),
  • les forces volumiques, à distance (poids, force électromagnétique).

L'équation peut se décomposer ainsi :

.

Nous allons établir plusieurs expressions de la forme intégrale, ou forme globale, de l'équation de bilan de la quantité de mouvement.

Dérivée particulaireModifier

La dérivée particulaire de la quantité de mouvement

 

peut s'exprimer de plusieurs façons[1] :

 .

Ici la deuxième expression peut se simplifier : en partant de la dérivée particulaire de la densité volumique de quantité de mouvement

 ,

puis en ajoutant de part et d'autre le terme  , il vient :

 ,

où l'on reconnaît, au dessus de l'accolade, la forme non-conservative de l'équation de continuité.

La dérivée particulaire de la quantité de mouvement prend alors un expression très simple :

 .

Forces volumiquesModifier

Les forces de volume peuvent s'exprimer simplement :

 .

Dans la grande majorité des cas en mécanique des fluides, la seule force à distance que subit le fluide est son poids. Dans ce cas :

 .

Cette force est elle-même souvent négligée dans le cas des gaz.

Forces surfaciquesModifier

Les forces de surface qui s'appliquent sur la surface   fermée, frontière du volume   sont un peu plus subtiles à détailler.

On peut noter :

 

Elles sont modélisées par une matrice[2] nommée tenseur des contraintes[3].

 .

de sorte que[4]

 .

On peut exprimer les forces de surface :

 ,

  est la divergence de la matrice   qui est définie de la façon suivante :

 .

Équation bilanModifier

Le bilan de la quantité de mouvement peut donc s'écrire :

 ,


ou encore plus simplement

 .


NotesModifier

  1. Voir l'établissement de cette relation dans le chapitre Dérivée particulaire de la leçon Cinétique des fluides.
  2. Une matrice est un tenseur d'ordre (ou de rang) 2
  3. [pdf] Olivier Louisnard, « Cours de mécanique des fluides », p. 50
  4. Mécanique des fluides appliquée, Pierre-Louis Viollet, Jean-Paul Chabard, Pascal Esposito.