Équation différentielle/Définition

Début de la boite de navigation du chapitre

fin de la boite de navigation du chapitre

Introduction générale sur les équations différentielles

Définitions

Une équation différentielle (E.D.) d'ordre n est une égalité liant une fonction et ses n premières dérivées.

On peut l'écrire de la manière la plus générale :

$F(x,f,f',f'',...f^{(n)})(x)=c(x)$

où $F$ est une fonction de n + 1 variables et c une fonction de la variable x.

On appelle solution de l'E.D. toute fonction $f$ définie et dérivable sur un intervalle et vérifiant cette relation.

Résoudre une telle E.D. signifie : déterminer l'ensemble de ses solutions.

Remarques

• Les E.D. font donc partie des équations fonctionnelles, dont l'inconnue est une fonction, et non un nombre.
• Il existe deux grandes catégories d'équations différentielles :
  • les équations différentielles linéaires : équations définies par la somme ou la différence d'une fonction et de ses dérivées (dans le membre de gauche).
  • les équations différentielles non linéaires : équations définies par tout autre opération entre une fonction et ses dérivées (dans le membre de gauche). Par exemple : le produit, le quotient ou l'utilisation de fonctions usuelles non linéaires incluant la fonction à déterminer ou l'une de ses dérivées (logarithme, fonction puissance, cosinus, sinus, tangente etc).

Équations différentielles linéaires d'ordre 1

Définitions

Une équation différentielle linéaire d'ordre 1 est de la forme :

$a\left(x\right)f'\left(x\right)+b\left(x\right)f\left(x\right)=c\left(x\right)$

où $a,b,c$ sont trois fonctions de la variable réelle $x$ et l'expression $a(x)$ ne doit pas être égale à 0.

L’équation homogène associée (ou équation sans second membre) à cette dernière est :

$a\left(x\right)f'\left(x\right)+b\left(x\right)f\left(x\right)=0$

Équations différentielles linéaires à coefficients constants

Un cas particulier important est celui où les fonctions $a(x)$ et $b(x)$ sont constantes, la fonction $c(x)$ ne l'étant pas nécessairement :

Définitions

Une équation différentielle linéaire d'ordre 1 à coefficients constants est de la forme :

$af'\left(x\right)+bf\left(x\right)=c\left(x\right)$

où $a\neq 0$ et $b$ sont deux nombres et $c$ une fonction.