Équation différentielle/Résolution de l'équation différentielle y'=ay+b

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Une équation différentielle relie une fonction à ses dérivées successives.

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L'équation $y'=ay+b$ avec $a$ et $b$ réels est parmi les plus simples mais aussi les plus importantes.

Équation différentielle $y'=ay$

Début d’un théorème

Théorème

$a$ désigne un réel non nul.

Les solutions de l'équation différentielle $y'=ay$ sont les fonctions définies sur $\mathbb {R}$ par :

$y(x)=k\operatorname {e} ^{ax}$

où $k$ est une constante réelle quelconque.

Fin du théorème

Démonstration

Démonstration avec les dérivées :

• Il suffit de dériver une telle fonction pour voir qu'elle est solution.
• Réciproquement, si on a une autre solution $g$, on pose $\phi (x)=g(x)\operatorname {e} ^{-ax}$
• En dérivant, on trouve que $\phi '(x)=0$ donc $\phi$ est constante et $g(x)$ est de la forme annoncée.

Démonstration avec l'intégration :

• $y'=ay$, donc ${y' \over y}=a$
• En intégrant des deux côtés, on obtient $\ln(y)=ax+b$
• En passant à l'exponentielle : $y=e^{ax+b}$
• En posant $k=e^{b}$, on retrouve $y(x)=ke^{ax}$

 

Solutions de l'équation différentielle $y'=ay+b$

Début d’un théorème

Théorème

Soient les réels $a$ et $b$ tels que $a\neq 0$

Les solutions de l'équation différentielle $y'=ay+b$ sont les fonctions définies sur $\mathbb {R}$ par :

$y(x)=k\operatorname {e} ^{ax}-{\frac {b}{a}}$

où $k$ est une constante réelle quelconque.

Fin du théorème

Démonstration

Démonstration avec les dérivées :

• Il suffit de dériver une telle fonction pour voir qu'elle est solution.
• Réciproquement, si on a une autre solution $f$, on pose $g(x)=f(x)+{\frac {b}{a}}$
• En dérivant, on trouve que $g$ est solution de l'équation sans second membre et d’après le théorème précédent, elle se ramène à la forme annoncée.

 

Début de l'exemple

Exemples

Résoudre les équations suivantes :

• $y'=y$
• $y'=-2y$
• $y'-2y=3$
• $5y'-2y=3$

Solution

• $y'=y$ admet pour ensemble-solution $S=\left\{k\operatorname {e} ^{x}\mid k\in \mathbb {R} \right\}$
• $y'=-2y$ admet pour ensemble-solution $S=\left\{k\operatorname {e} ^{-2x}\mid k\in \mathbb {R} \right\}$
• $y'-2y=3$ admet pour ensemble-solution $S=\left\{k\operatorname {e} ^{2x}-{\frac {3}{2}}\mid k\in \mathbb {R} \right\}$
• $5y'-2y=3\Leftrightarrow y'={\frac {2}{5}}y+{\frac {3}{5}}$ admet pour ensemble-solution $S=\left\{k\operatorname {e} ^{{\frac {2}{5}}x}-{\frac {3}{2}}\mid k\in \mathbb {R} \right\}$

 

Fin de l'exemple

La condition initiale

Le fait de fixer une seule valeur de la fonction-solution suffit à la définir parfaitement.

Le sens physique de cette remarque est très intuitif : un système physique régi par une équation différentielle du premier ordre voit son état déterminé par un seul nombre $f(x)$ qui dépend de la variable $x$ (en général le temps).

La connaissance de cet état à un instant donné (disons l'instant $x=0$ par exemple) détermine l'état du système à tout instant.

C'est ce qu'on appelle la condition initiale.

Début d’un théorème

Cas particulier d'un théorème de Cauchy

Deux nombres réels $x_{0}$ et $y_{0}$ étant donnés, il existe une unique solution $f$ de l'équation $y'=ay+b$ vérifiant $f(x_{0})=y_{0}$.

Fin du théorème

Démonstration

La donnée de $x_{0}$ et $y_{0}$ suffit à fixer un unique $k$.

 

Début de l'exemple

Exemples

Résoudre les équations suivantes :

• $y'=y,\quad y(0)=1$
• $y'=-2y,\quad y(1)=3$
• $y'-2y=3,\quad y(0)=3$
• $5y'-2y=3,\quad y(-2)=0$

Solution

Avec les solutions précédemment trouvées :

• $y'=y$ : la condition $y(0)=1$ impose $k\operatorname {e} ^{0}=1$ c'est-à-dire $k=1$ d'où la solution unique $y=\operatorname {e} ^{x}$
• $y'=-2y$ : la condition $y(1)=3$ impose $k\operatorname {e} ^{-2}=3$ c'est-à-dire $k=3e^{2}$ d'où la solution unique $y=3\operatorname {e} ^{2(1-x)}$
• $y'-2y=3$ : la condition $y(0)=3$ impose $k\operatorname {e} ^{0}-{\frac {3}{2}}=3$ c'est-à-dire $k={\frac {9}{2}}$, d'où la solution unique $y={\frac {9}{2}}\operatorname {e} ^{2x}-{\frac {3}{2}}$
• $5y'-2y=3$ : la condition $y(-2)=0$ impose $k\operatorname {e} ^{\frac {-4}{5}}-{\frac {3}{2}}=0$ c'est-à-dire $k={\frac {3}{2}}\operatorname {e} ^{\frac {4}{5}}$, d'où la solution unique $y={\frac {3}{2}}\left[\operatorname {e} ^{{\frac {2}{5}}(x+2)}-1\right]$

 

Fin de l'exemple

Début de l'exemple

Exemple en physique : vitesse terminale d'un objet

Considérons un objet de masse $m$ en chute libre.

Les forces en présence sont, en projection sur l'axe vertical orienté vers le bas :

• le poids : $P=...$
• le frottement fluide $F$ de l'air, d'intensité proportionnelle à la vitesse $v$ de l'objet

  Le coefficient de frottement est noté $h$, donc

  $F=...$

Le principe fondamental de la dynamique s'écrit :

$...=...$

C'est une équation différentielle linéaire du premier ordre à coefficients constants.

Solution

• Le poids : $P=m\times g$
• Le frottement fluide $F$ de l'air, d'intensité proportionnelle à la vitesse $v$, le coefficient de frottement est noté $h$, donc

  $F=-h\times v$

Le principe fondamental de la dynamique s'écrit :

$mv'=-hv+mg$

 

En supposant que l’objet est lâché sans vitesse initiale, l'objectif est de donner la solution $v(t)$ exprimant la vitesse du corps en fonction du temps $t$.

Réécrivons cela sous la même forme que dans la définition :

$...=0$

La solution est de la forme :

$v(t)=...$

Supposons que la vitesse soit nulle à l'origine, c'est-à-dire $v(0)=...$. Cela donne pour la solution générale :

$...=...$

La solution finale au problème est donc :

$v(t)=...$

Solution

Réécrivons cela sous la même forme que dans la définition :

$v'+{\frac {h}{m}}v-g=0$

La solution est de la forme :

$v=Ae^{-{\frac {h}{m}}t}+{\frac {gm}{h}}$

Supposons que la vitesse soit nulle à l'origine, ce qui fixe le paramètre $A$, qui doit alors vérifier :

$0=A+{\frac {gm}{h}}$

La solution finale au problème est donc :

$v\left(t\right)={\frac {gm}{h}}\left(1-\operatorname {e} ^{-{\frac {h}{m}}t}\right)$

 

Application numérique : tracer $v$ en fonction de $t$ pour $m=0{,}00416,h=3{,}4\times 10^{-6},g=9{,}81$

Fin de l'exemple