Équation du quatrième degré/Exercices/Sur la somme et le produit des racines
Exercice 2-1
modifierSoit l'équation :
1 - Donner les conditions nécessaires et suffisantes portant sur les coefficients de l'équation pour que celle-ci admette une racine double α et une racine double β.
2 - Donner alors une équation du second degré dont α et β sont racines.
1 - Le polynôme (avec ) a deux racines doubles si et seulement s'il est le carré d'un polynôme du second degré, à produit près par une constante, c'est-à-dire s'il existe tels que
- ,
ce qui (en développant) s'écrit :
Premier cas : .
Compte tenu de la première équation, la troisième se réécrit alors :
- .
En reportant dans les deuxième et quatrième équations les valeurs de S et P données par la première et la troisième, on obtient les conditions recherchées (conditions d'existence d'une solution du système des quatre équations) :
qui après simplification sont équivalentes à :
En portant b2 de la deuxième équation dans la première, ceci équivaut à :
Après simplification de la première équation par 4a, les conditions sont finalement :
Second cas : .
Le système initial
est alors équivalent à
donc les conditions recherchées (conditions d'existence d'une solution ) sont :
2 - D'après la question précédente, α et β sont alors racines :
- si : de (ou encore : ) ;
- si : de .
Exercice 2-2
modifierSoit l'équation :
- .
Donnez une condition nécessaire et suffisante portant sur les coefficients pour que l'une des racines de l'équation soit la moyenne arithmétique des trois autres.
Les racines de l'équation doivent vérifier (à renumérotation près) , ce qui équivaut à :
- est égal à l'une des quatre racines,
ou encore :
- ,
c'est-à-dire :
- .
Exercice 2-3
modifierSoit l'équation :
- .
Dans le cours, nous avons posé :
- .
Montrez que est nul si et seulement si les quatre racines de l'équation vérifient l'une des trois relations suivantes :
- ;
- ;
- .
Première approche
Notons les membres de gauche de ces trois relations, et leurs polynômes symétriques élémentaires. Les membres de droite sont alors : , et donc l'une des trois relations est vérifiée si et seulement si l'un des est égal à la moyenne arithmétique des deux autres, c'est-à-dire (cf. exercice 2-6 de la leçon sur l'équation du troisième degré) si et seulement si
- .
Or les sont des polynômes symétriques en les donc (cf. cours) s'expriment en fonction des coefficients de l'équation de départ, via les (polynômes symétriques en les introduits lors de la preuve de ce théorème, et dont certains sont calculés dans l'exercice 2-5 ci-dessous) :
- ;
- ;
- , avec
- ,
- donc
- .
Enfin :
est bien nul si et seulement si l'est.
Deuxième approche
Notons les membres de droite des trois relations, et leurs polynômes symétriques élémentaires. Les membres de gauche sont alors : , et donc, à nouveau, l'une des trois relations est vérifiée si et seulement si l'un des est égal à la moyenne arithmétique des deux autres. Puisque , cette condition est équivalente à « l'un des est égal à la moyenne arithmétique des deux autres ». On peut d'ailleurs remarquer que
- ,
car le polynôme est non seulement homogène mais invariant par translation (cf. exercice 2-9 de la leçon sur l'équation du troisième degré).
Remarques
On pouvait calculer les directement, mais on peut aussi les déduire des : les sont les racines de
qui équivaut à
donc
- ,
- ,
- .
Les polynômes symétriques élémentaires associés aux sont
- .
Lorsque , on a donc :
Ces cas particuliers interviennent dans la méthode de Lagrange (chapitre 7) pour les , et dans sa variante (exercice 7-3) pour les .
Exercice 2-4
modifierSoit quatre nombres a, b, c, d vérifiant :
Montrer que l’on a alors la relation suivante :
- .
On a vu dans le cours comment exprimer les sommes de Newton en fonction des polynômes symétriques élémentaires en , en particulier :
- ;
- ;
- ;
- ;
- .
Si , ces relations se simplifient en :
- ,
ce qui donne bien :
- .
Exercice 2-5
modifierEn appliquant la preuve du théorème fondamental des fonctions symétriques, exprimez, en fonction des quatre polynômes symétriques élémentaires en , les dix polynômes suivants (les sont définis dans cette preuve) :
et tester, pour , les égalités obtenues.
- ,
. - ,
. - ,
. - ,
. - ,
. -
,
. - ,
. -
,
. -
,
. -
,
.