Équation du quatrième degré/Exercices/Sur la somme et le produit des racines

Sur la somme et le produit des racines
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Exercices no2
Leçon : Équation du quatrième degré
Chapitre du cours : Généralités sur les équations du quatrième degré

Exercices de niveau 14.

Exo préc. :Sur les généralités
Exo suiv. :Sur les tracés de courbes
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Équation du quatrième degré/Exercices/Sur la somme et le produit des racines
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Exercice 2-1

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Soit l'équation :

 

1 - Donner les conditions nécessaires et suffisantes portant sur les coefficients de l'équation pour que celle-ci admette une racine double α et une racine double β.

2 - Donner alors une équation du second degré dont α et β sont racines.

Exercice 2-2

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Soit l'équation :

 .

Donnez une condition nécessaire et suffisante portant sur les coefficients   pour que l'une des racines de l'équation soit la moyenne arithmétique des trois autres.

Exercice 2-3

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Soit l'équation :

 .

Dans le cours, nous avons posé :

 .

Montrez que   est nul si et seulement si les quatre racines   de l'équation vérifient l'une des trois relations suivantes :

  ;
  ;
 .

Exercice 2-4

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Soit quatre nombres a, b, c, d vérifiant :

 

Montrer que l’on a alors la relation suivante :

 .

Exercice 2-5

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En appliquant la preuve du théorème fondamental des fonctions symétriques, exprimez, en fonction des quatre polynômes symétriques élémentaires en  , les dix polynômes suivants (les   sont définis dans cette preuve) :

 

et tester, pour  , les égalités obtenues.