Équation du troisième degré/Exercices/Sur la somme et le produit des racines

Sur la somme et le produit des racines
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Exercices no2
Leçon : Équation du troisième degré
Chapitre du cours : Généralités sur les équations du troisième degré

Exercices de niveau 14.

Exo préc. :Exercices sur l'équation du troisième degré
Exo suiv. :Sur les tracés de courbes
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Équation du troisième degré/Exercices/Sur la somme et le produit des racines
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Exercice 2-1Modifier

Supposons que l'équation de degré 3 :

 

admette une racine triple α.

Montrer qu'alors,

 .

Exercice 2-2Modifier

(Cet exercice démontre une proposition du chapitre 2, utilisée pour calculer le discriminant d'un polynôme de degré 3 en fonction de ses coefficients.)

On considère un polynôme de degré 2,

 .

On notera   pour  , et  .

a) Développer   et en déduire   en fonction des nombres  .

b) Développer   et en déduire   en fonction des nombres  .

c) Soit   un polynôme non nul de degré  . Calculer le résultant

 

en fonction de   et de  .

Exercice 2-3Modifier

Résoudre le système de trois équations à trois inconnues suivant :

 

Exercice 2-4Modifier

Soit l'équation :

 

admettant le nombre α comme racine double.

Montrer que α est aussi racine des équations suivantes :

 
 
 


Exercice 2-5Modifier

Soit l'équation :

 

Dont les racines sont :

 

Formez une équation du troisième degré dont les racines sont :

 



Exercice 2-6Modifier

Soit l'équation de degré 3 :

 .

Donnez une condition nécessaire et suffisante portant sur les coefficients a, b, c, d pour que l'une des racines de l'équation soit la moyenne arithmétique des deux autres.

Exercice 2-7Modifier

Soit l'équation de degré 3 :

 

Donnez une condition nécessaire et suffisante portant sur les coefficients   pour que les trois racines de cette équation soient les affixes des sommets d'un triangle équilatéral dans le plan complexe.

Exercice 2-8Modifier

On note   la somme du monôme   et de tous ceux obtenus par permutation des trois variables (par exemple :  ).

En s'inspirant de la preuve du théorème fondamental des fonctions symétriques fournie dans la leçon sur l'équation du quatrième degré, exprimer, en fonction des trois polynômes symétriques élémentaires  , les neuf polynômes suivants :

 

et tester, pour  , les égalités obtenues.

Exercice 2-9Modifier

Démontrer que les polynômes symétriques en trois variables invariants par translation (de ces trois variables) sont les polynômes en   et  .

Exercice 2-10Modifier

Trouvez tous les triplets de nombres complexes   vérifiant la condition suivante :

 .

En déduire que le seul triplet de nombres réels vérifiant la condition précédente est le triplet (1, 1, 1).