En raison de limitations techniques, la typographie souhaitable du titre, «
Exercice : Sur la somme et le produit des racinesÉquation du troisième degré/Exercices/Sur la somme et le produit des racines », n'a pu être restituée correctement ci-dessus.
Supposons que l'équation de degré 3 :
a x 3 + b x 2 + c x + d = 0 {\displaystyle ax^{3}+bx^{2}+cx+d=0~} admette une racine triple α.
Montrer qu'alors,
b α = − c {\displaystyle b\alpha =-c} .
Solution
Soit x1 , x2 , x3 , les trois racines de l'équation.
Nous savons que :
{ x 1 + x 2 + x 3 = − b a x 1 x 2 + x 1 x 3 + x 2 x 3 = c a . {\displaystyle {\begin{cases}x_{1}+x_{2}+x_{3}=\displaystyle {-{\frac {b}{a}}}\\x_{1}x_{2}+x_{1}x_{3}+x_{2}x_{3}=\displaystyle {\frac {c}{a}}.\end{cases}}} Si :
x 1 = x 2 = x 3 = α {\displaystyle x_{1}=x_{2}=x_{3}=\alpha } ,on obtient :
{ 3 α = − b a 3 α 2 = c a {\displaystyle {\begin{cases}3\alpha =\displaystyle {-{\frac {b}{a}}}\\3\alpha ^{2}=\displaystyle {\frac {c}{a}}\end{cases}}} et l'on obtient bien :
b α = − 3 a α 2 = − c {\displaystyle b\alpha =-3a\alpha ^{2}=-c} .
(Cet exercice démontre une proposition du chapitre 2, utilisée pour calculer le discriminant d'un polynôme de degré 3 en fonction de ses coefficients.)
On considère un polynôme de degré 2,
Q ( X ) = p X 2 + q X + r = p ( X − y 1 ) ( X − y 2 ) {\displaystyle Q(X)=pX^{2}+qX+r=p(X-y_{1})(X-y_{2})} .On notera p k = y 1 k + y 2 k {\displaystyle p_{k}=y_{1}^{k}+y_{2}^{k}} pour k = 1 , 2 , 3 {\displaystyle k=1,2,3} , et π = y 1 y 2 {\displaystyle \pi =y_{1}y_{2}} .
a) Développer p 1 2 − 2 π {\displaystyle p_{1}^{2}-2\pi } et en déduire p 2 {\displaystyle p_{2}} en fonction des nombres p , q , r {\displaystyle p,q,r} .
b) Développer p 1 3 − 3 π p 1 {\displaystyle p_{1}^{3}-3\pi p_{1}} et en déduire p 3 {\displaystyle p_{3}} en fonction des nombres p , q , r {\displaystyle p,q,r} .
c) Soit P ( X ) = a X 3 + b X 2 + c X + d {\displaystyle P(X)=aX^{3}+bX^{2}+cX+d} un polynôme non nul de degré n ≤ 3 {\displaystyle n\leq 3} . Calculer le résultant
Res ( Q , P ) = p n P ( y 1 ) P ( y 2 ) {\displaystyle \operatorname {Res} (Q,P)=p^{n}P(y_{1})P(y_{2})} en fonction de n {\displaystyle n} et de p , q , r , a , b , c , d {\displaystyle p,q,r,a,b,c,d} .
Solution
a) p 2 = p 1 2 − 2 π = ( − q p ) 2 − 2 r p = q 2 − 2 r p p 2 {\displaystyle p_{2}=p_{1}^{2}-2\pi =\left(-{\frac {q}{p}}\right)^{2}-2{\frac {r}{p}}={\frac {q^{2}-2rp}{p^{2}}}} .
b) p 3 = p 1 3 − 3 π p 1 = ( − q p ) 3 − 3 ( r p ) ( − q p ) = 3 r p q − q 3 p 3 {\displaystyle p_{3}=p_{1}^{3}-3\pi p_{1}=\left(-{\frac {q}{p}}\right)^{3}-3\left({\frac {r}{p}}\right)\left(-{\frac {q}{p}}\right)={\frac {3rpq-q^{3}}{p^{3}}}} .
c)
p − n Res ( Q , P ) = ( a y 1 3 + b y 1 2 + c y 1 + d ) ( a y 2 3 + b y 2 2 + c y 2 + d ) = a [ a y 1 3 y 2 3 + b ( y 1 3 y 2 2 + y 1 2 y 2 3 ) + c ( y 1 3 y 2 + y 1 y 2 3 ) + d ( y 1 3 + y 2 3 ) ] + b [ b y 1 2 y 2 2 + c ( y 1 2 y 2 + y 1 y 2 2 ) + d ( y 1 2 + y 2 2 ) ] + c [ c y 1 y 2 + d ( y 1 + y 2 ) ] + d 2 = a [ a π 3 + b π 2 p 1 + c π p 2 + d p 3 ] + b [ b π 2 + c π p 1 + d p 2 ] + c [ c π + d p 1 ] + d 2 {\displaystyle {\begin{aligned}p^{-n}\operatorname {Res} (Q,P)&=\left(ay_{1}^{3}+by_{1}^{2}+cy_{1}+d\right)\left(ay_{2}^{3}+by_{2}^{2}+cy_{2}+d\right)\\&=a\left[ay_{1}^{3}y_{2}^{3}+b(y_{1}^{3}y_{2}^{2}+y_{1}^{2}y_{2}^{3})+c(y_{1}^{3}y_{2}+y_{1}y_{2}^{3})+d(y_{1}^{3}+y_{2}^{3})\right]\\&\quad +b\left[by_{1}^{2}y_{2}^{2}+c(y_{1}^{2}y_{2}+y_{1}y_{2}^{2})+d(y_{1}^{2}+y_{2}^{2})\right]\\&\quad +c\left[cy_{1}y_{2}+d(y_{1}+y_{2})\right]+d^{2}\\&=a\left[a\pi ^{3}+b\pi ^{2}p_{1}+c\pi p_{2}+dp_{3}\right]\\&\quad +b\left[b\pi ^{2}+c\pi p_{1}+dp_{2}\right]\\&\quad +c\left[c\pi +dp_{1}\right]+d^{2}\end{aligned}}} donc
Res ( Q , P ) = a p n − 3 [ a r 3 − b r 2 q + c ( r q 2 − 2 r 2 p ) + d ( 3 r q p − q 3 ) ] + b p n − 2 [ b r 2 − c r q + d ( q 2 − 2 r p ) ] + c p n − 1 [ c r − d q ] + p n d 2 . {\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {Res} (Q,P)&=ap^{n-3}\left[ar^{3}-br^{2}q+c(rq^{2}-2r^{2}p)+d(3rqp-q^{3})\right]\\&\quad +bp^{n-2}\left[br^{2}-crq+d(q^{2}-2rp)\right]\\&\quad +cp^{n-1}\left[cr-dq\right]+p^{n}d^{2}.\end{aligned}}}
Résoudre le système de trois équations à trois inconnues suivant :
{ x + y + z = 1 x 2 + y 2 + z 2 = 7 x 3 + y 3 + z 3 = 13. {\displaystyle {\begin{cases}x+y+z=1\\x^{2}+y^{2}+z^{2}=7\\x^{3}+y^{3}+z^{3}=13.\end{cases}}}
Solution
On a :
x y + x z + y z = ( x + y + z ) 2 − ( x 2 + y 2 + z 2 ) 2 {\displaystyle xy+xz+yz={\frac {(x+y+z)^{2}-(x^{2}+y^{2}+z^{2})}{2}}} et 1 2 − 7 2 = − 3 {\displaystyle {\frac {1^{2}-7}{2}}=-3} .On a aussi :
x y z = ( x + y + z ) 3 − 3 ( x + y + z ) ( x 2 + y 2 + z 2 ) + 2 ( x 3 + y 3 + z 3 ) 6 {\displaystyle xyz={\frac {(x+y+z)^{3}-3(x+y+z)(x^{2}+y^{2}+z^{2})+2(x^{3}+y^{3}+z^{3})}{6}}} et 1 3 − 3 × 1 × 7 + 2 × 13 6 = 1 {\displaystyle {\frac {1^{3}-3\times 1\times 7+2\times 13}{6}}=1} .Nous voyons que le système que l’on devait résoudre est équivalent à :
{ x + y + z = 1 x y + x z + y z = − 3 x y z = 1. {\displaystyle {\begin{cases}x+y+z=1\\xy+xz+yz=-3\\xyz=1.\end{cases}}} Par conséquent x, y et z sont les trois racines de l'équation :
X 3 − X 2 − 3 X − 1 = 0 {\displaystyle X^{3}-X^{2}-3X-1=0} .Cette dernière équation a pour racine évidente X = -1. On peut donc la factoriser. On obtient :
( X + 1 ) ( X 2 − 2 X − 1 ) = 0 {\displaystyle (X+1)(X^{2}-2X-1)=0} .Les racines de :
X 2 − 2 X − 1 = 0 {\displaystyle X^{2}-2X-1=0} étant :
{ X 1 = 1 + 2 X 2 = 1 − 2 , {\displaystyle {\begin{cases}X_{1}=1+{\sqrt {2}}\\X_{2}=1-{\sqrt {2}},\end{cases}}} les trois racines recherchées sont donc :
{ X 1 = 1 + 2 X 2 = 1 − 2 X 3 = − 1. {\displaystyle {\begin{cases}X_{1}=1+{\sqrt {2}}\\X_{2}=1-{\sqrt {2}}\\X_{3}=-1.\end{cases}}} Les solutions du système que l’on devait résoudre sont donc :
{ x = 1 + 2 y = 1 − 2 z = − 1 {\displaystyle {\begin{cases}x=1+{\sqrt {2}}\\y=1-{\sqrt {2}}\\z=-1\end{cases}}} ainsi que toutes les permutations possibles des trois valeurs des racines. Soit 6 triplets.
Soit l'équation :
a x 3 + b x 2 + c x + d = 0 {\displaystyle ax^{3}+bx^{2}+cx+d=0~} admettant le nombre α comme racine double.
Montrer que α est aussi racine des équations suivantes :
1 ) 3 a x 2 + 2 b x + c = 0 {\displaystyle 1)\quad 3ax^{2}+2bx+c=0~} 2 ) 2 a x 3 + b x 2 − d = 0 {\displaystyle 2)\quad 2ax^{3}+bx^{2}-d=0~} 3 ) a x 3 − c x − 2 d = 0 {\displaystyle 3)\quad ax^{3}-cx-2d=0~}
Solution
Si x1 , x2 , x2 sont les trois racines de l'équation :
a x 3 + b x 2 + c x + d = 0 {\displaystyle ax^{3}+bx^{2}+cx+d=0~}
Nous savons que :
{ x 1 + x 2 + x 3 = − b a x 1 x 2 + x 1 x 3 + x 2 x 3 = c a x 1 x 2 x 3 = − d a {\displaystyle {\begin{cases}x_{1}+x_{2}+x_{3}=\displaystyle {-{\frac {b}{a}}}\\x_{1}x_{2}+x_{1}x_{3}+x_{2}x_{3}=\displaystyle {\frac {c}{a}}\\x_{1}x_{2}x_{3}=\displaystyle {-{\frac {d}{a}}}\\\end{cases}}} Si l'équation admet une racine double α et une racine simple β, on peut poser :
x 1 = x 2 = α {\displaystyle x_{1}=x_{2}=\alpha ~} x 3 = β {\displaystyle x_{3}=\beta ~} Nous obtenons alors :
{ 2 α + β = − b a α 2 + 2 α β = c a α 2 β = − d a {\displaystyle {\begin{cases}2\alpha +\beta =\displaystyle {-{\frac {b}{a}}}\\\alpha ^{2}+2\alpha \beta =\displaystyle {\frac {c}{a}}\\\alpha ^{2}\beta =\displaystyle {-{\frac {d}{a}}}\\\end{cases}}} 1) Le résultant R1-1 des deux premières équations par rapport à β est nul. Ce qui se traduit par :
3 a α 2 + 2 b α + c = 0 {\displaystyle 3a\alpha ^{2}+2b\alpha +c=0~} Ce qui nous montre que α est racine de l'équation :
3 a x 2 + 2 b x + c = 0 {\displaystyle \quad 3ax^{2}+2bx+c=0~}
2) Le résultant R1-1 de la première équation et de la troisième équation par rapport à β est nul. Ce qui se traduit par :
2 a α 3 + b α 2 − d = 0 {\displaystyle 2a\alpha ^{3}+b\alpha ^{2}-d=0~} Ce qui nous montre que α est racine de l'équation :
2 a x 3 + b x 2 − d = 0 {\displaystyle \quad 2ax^{3}+bx^{2}-d=0~}
3) Le résultant R1-1 de la deuxième équation et de la troisième équation par rapport à β est nul. Ce qui se traduit par :
a α 3 − c α − 2 d = 0 {\displaystyle a\alpha ^{3}-c\alpha -2d=0~} Ce qui nous montre que α est racine de l'équation :
a x 3 − c x − 2 d = 0 {\displaystyle \quad ax^{3}-cx-2d=0~}
Soit l'équation :
z 3 + p z + q = 0 {\displaystyle z^{3}+pz+q=0~} Dont les racines sont :
z 1 z 2 z 3 {\displaystyle z_{1}\quad z_{2}\quad z_{3}~} Formez une équation du troisième degré dont les racines sont :
z 1 3 z 2 3 z 3 3 {\displaystyle z_{1}^{3}\quad z_{2}^{3}\quad z_{3}^{3}~}
Solution
Nous avons :
z 1 3 + z 2 3 + z 3 3 = ( − p z 1 − q ) + ( − p z 2 − q ) + ( − p z 3 − q ) = − p ( z 1 + z 2 + z 3 ) − 3 q = − p × 0 − 3 q = − 3 q {\displaystyle z_{1}^{3}+z_{2}^{3}+z_{3}^{3}=(-pz_{1}-q)+(-pz_{2}-q)+(-pz_{3}-q)=-p(z_{1}+z_{2}+z_{3})-3q=-p\times 0-3q=-3q~} Nous avons :
z 1 3 z 2 3 + z 1 3 z 3 3 + z 2 3 z 3 3 = ( − p z 1 − q ) ( − p z 2 − q ) + ( − p z 1 − q ) ( − p z 3 − q ) + ( − p z 2 − q ) ( − p z 3 − q ) {\displaystyle z_{1}^{3}z_{2}^{3}+z_{1}^{3}z_{3}^{3}+z_{2}^{3}z_{3}^{3}=(-pz_{1}-q)(-pz_{2}-q)+(-pz_{1}-q)(-pz_{3}-q)+(-pz_{2}-q)(-pz_{3}-q)~} = p 2 ( z 1 z 2 + z 1 z 3 + z 2 z 3 ) + 2 p q ( z 1 + z 2 + z 3 ) + 3 q 2 {\displaystyle =p^{2}(z_{1}z_{2}+z_{1}z_{3}+z_{2}z_{3})+2pq(z_{1}+z_{2}+z_{3})+3q^{2}~} = p 2 × p + 2 p q × 0 + 3 q 2 = p 3 + 3 q 2 {\displaystyle =p^{2}\times p+2pq\times 0+3q^{2}=p^{3}+3q^{2}~} Nous avons :
z 1 3 × z 2 3 × z 3 3 = ( z 1 . z 2 . z 3 ) 3 = ( − q ) 3 = − q 3 {\displaystyle z_{1}^{3}\times z_{2}^{3}\times z_{3}^{3}=(z_{1}.z_{2}.z_{3})^{3}=(-q)^{3}=-q^{3}~}
L'équation du troisième degré recherchée est donc :
z 3 + 3 q z 2 + ( p 3 + 3 q 2 ) z + q 3 = 0 {\displaystyle z^{3}+3qz^{2}+(p^{3}+3q^{2})z+q^{3}=0~}
Soit l'équation de degré 3 :
a x 3 + b x 2 + c x + d = 0 {\displaystyle ax^{3}+bx^{2}+cx+d=0} .Donnez une condition nécessaire et suffisante portant sur les coefficients a, b, c, d pour que l'une des racines de l'équation soit la moyenne arithmétique des deux autres.
Solution
Soit x1 , x2 , x3 , les trois racines de l'équation. Nous devons avoir :
x 1 = x 2 + x 3 2 ou x 2 = x 1 + x 3 2 ou x 3 = x 1 + x 2 2 {\displaystyle x_{1}={\frac {x_{2}+x_{3}}{2}}\quad {\text{ou}}\quad x_{2}={\frac {x_{1}+x_{3}}{2}}\quad {\text{ou}}\quad x_{3}={\frac {x_{1}+x_{2}}{2}}} ,ce qui est équivalent à :
x 1 + x 2 + x 3 3 {\displaystyle {\frac {x_{1}+x_{2}+x_{3}}{3}}} est égal à l'une des trois racines,ou encore :
a ( − b 3 a ) 3 + b ( − b 3 a ) 2 + c ( − b 3 a ) + d = 0 {\displaystyle a\left(-{\frac {b}{3a}}\right)^{3}+b\left(-{\frac {b}{3a}}\right)^{2}+c\left(-{\frac {b}{3a}}\right)+d=0} ,c'est-à-dire :
2 b 3 − 9 a b c + 27 a 2 d = 0 {\displaystyle 2b^{3}-9abc+27a^{2}d=0} .
Soit l'équation de degré 3 :
a x 3 + b x 2 + c x + d = 0 {\displaystyle ax^{3}+bx^{2}+cx+d=0~} Donnez une condition nécessaire et suffisante portant sur les coefficients a , b , c , d {\displaystyle a,b,c,d} pour que les trois racines de cette équation soient les affixes des sommets d'un triangle équilatéral dans le plan complexe.
Solution
Les trois racines de l'équation sont les affixes des sommets d'un triangle équilatéral si et seulement si elles sont de la forme :
x k = x 1 + x 2 + x 3 3 + γ k = − b 3 a + γ k , k ∈ { 0 , 1 , 2 } {\displaystyle x_{k}={\frac {x_{1}+x_{2}+x_{3}}{3}}+\gamma _{k}=-{\frac {b}{3a}}+\gamma _{k},\quad k\in \{0,1,2\}} où les γ k {\displaystyle \gamma _{k}} sont les trois racines cubiques d'un même nombre complexe z {\displaystyle z} ,
c'est-à-dire si et seulement si :
∃ z ∈ C a X 3 + b X 2 + c X + d = a [ ( X + b 3 a ) 3 − z ] {\displaystyle \exists z\in \mathbb {C} \quad aX^{3}+bX^{2}+cX+d=a\left[\left(X+{\frac {b}{3a}}\right)^{3}-z\right]} .Une condition nécessaire et suffisante est donc (en développant et en identifiant les coefficients) :
c = b 2 3 a {\displaystyle c={\frac {b^{2}}{3a}}} .
On note S i , j , k {\displaystyle S_{i,j,k}} la somme du monôme X i Y j Z k {\displaystyle X^{i}Y^{j}Z^{k}} et de tous ceux obtenus par permutation des trois variables (par exemple : S 2 , 1 , 1 = X 2 Y Z + X 2 Z Y + Y 2 X Z + Y 2 Z X + Z 2 X Y + Z 2 Y X {\displaystyle S_{2,1,1}=X^{2}YZ+X^{2}ZY+Y^{2}XZ+Y^{2}ZX+Z^{2}XY+Z^{2}YX} ).
En s'inspirant de la preuve du théorème fondamental des fonctions symétriques fournie dans la leçon sur l'équation du quatrième degré , exprimer, en fonction des trois polynômes symétriques élémentaires σ 1 , σ 2 , σ 3 {\displaystyle \sigma _{1},\sigma _{2},\sigma _{3}} , les neuf polynômes suivants :
S 2 , 1 , 0 , S 2 , 2 , 0 , S 3 , 1 , 0 , S 3 , 2 , 0 , S 3 , 3 , 0 , S 4 , 1 , 0 , S 4 , 2 , 0 , S 4 , 3 , 0 , S 4 , 4 , 0 {\displaystyle S_{2,1,0},\;S_{2,2,0},\;S_{3,1,0},\;S_{3,2,0},\;S_{3,3,0},\;S_{4,1,0},\;S_{4,2,0},\;S_{4,3,0},\;S_{4,4,0}} et tester, pour X = Y = Z = 1 {\displaystyle X=Y=Z=1} , les égalités obtenues.
Solution
S 2 , 1 , 0 = σ 1 σ 2 − 3 σ 3 {\displaystyle S_{2,1,0}=\sigma _{1}\sigma _{2}-3\sigma _{3}} ,6 = 3 × 3 − 3 × 1 {\displaystyle 6=3\times 3-3\times 1} .
S 2 , 2 , 0 = σ 2 2 − 2 σ 3 σ 1 {\displaystyle S_{2,2,0}=\sigma _{2}^{2}-2\sigma _{3}\sigma _{1}} ,3 = 3 2 − 2 × 1 × 3 {\displaystyle 3=3^{2}-2\times 1\times 3} .
S 3 , 1 , 0 = σ 1 2 σ 2 − 2 S 2 , 2 , 0 − 5 σ 3 σ 1 = σ 1 2 σ 2 − 2 σ 2 2 − σ 3 σ 1 {\displaystyle S_{3,1,0}=\sigma _{1}^{2}\sigma _{2}-2S_{2,2,0}-5\sigma _{3}\sigma _{1}=\sigma _{1}^{2}\sigma _{2}-2\sigma _{2}^{2}-\sigma _{3}\sigma _{1}} ,6 = 3 2 × 3 − 2 × 3 2 − 1 × 3 {\displaystyle 6=3^{2}\times 3-2\times 3^{2}-1\times 3} .
S 3 , 2 , 0 = σ 1 σ 2 2 − 2 σ 3 ( σ 1 2 − 2 σ 2 ) − 5 σ 3 σ 2 = σ 1 σ 2 2 − 2 σ 3 σ 1 2 − σ 3 σ 2 {\displaystyle S_{3,2,0}=\sigma _{1}\sigma _{2}^{2}-2\sigma _{3}(\sigma _{1}^{2}-2\sigma _{2})-5\sigma _{3}\sigma _{2}=\sigma _{1}\sigma _{2}^{2}-2\sigma _{3}\sigma _{1}^{2}-\sigma _{3}\sigma _{2}} ,6 = 3 × 3 2 − 2 × 1 × 3 2 − 1 × 3 {\displaystyle 6=3\times 3^{2}-2\times 1\times 3^{2}-1\times 3} .
S 3 , 3 , 0 = σ 2 3 − 3 σ 3 S 2 , 1 , 0 − 6 σ 3 2 = σ 2 3 − 3 σ 3 σ 1 σ 2 + 3 σ 3 2 {\displaystyle S_{3,3,0}=\sigma _{2}^{3}-3\sigma _{3}S_{2,1,0}-6\sigma _{3}^{2}=\sigma _{2}^{3}-3\sigma _{3}\sigma _{1}\sigma _{2}+3\sigma _{3}^{2}} ,3 = 3 3 − 3 × 3 × 1 × 3 + 3 × 1 2 {\displaystyle 3=3^{3}-3\times 3\times 1\times 3+3\times 1^{2}} .
S 4 , 1 , 0 = σ 1 3 σ 2 − 3 S 3 , 2 , 0 − 7 σ 3 ( σ 1 2 − 2 σ 2 ) − 12 σ 3 σ 2 = σ 1 3 σ 2 − 3 σ 1 σ 2 2 − σ 3 σ 1 2 + 5 σ 3 σ 2 {\displaystyle S_{4,1,0}=\sigma _{1}^{3}\sigma _{2}-3S_{3,2,0}-7\sigma _{3}(\sigma _{1}^{2}-2\sigma _{2})-12\sigma _{3}\sigma _{2}=\sigma _{1}^{3}\sigma _{2}-3\sigma _{1}\sigma _{2}^{2}-\sigma _{3}\sigma _{1}^{2}+5\sigma _{3}\sigma _{2}} ,6 = 3 3 × 3 − 3 × 3 × 3 2 − 1 × 3 2 + 5 × 1 × 3 {\displaystyle 6=3^{3}\times 3-3\times 3\times 3^{2}-1\times 3^{2}+5\times 1\times 3} .
S 4 , 2 , 0 = σ 1 2 σ 2 2 − 2 σ 3 p 3 − 2 S 3 , 3 , 0 − 8 σ 3 S 2 , 1 , 0 − 15 σ 3 2 {\displaystyle S_{4,2,0}=\sigma _{1}^{2}\sigma _{2}^{2}-2\sigma _{3}p_{3}-2S_{3,3,0}-8\sigma _{3}S_{2,1,0}-15\sigma _{3}^{2}} = σ 1 2 σ 2 2 − 2 σ 3 ( σ 1 3 − 3 σ 1 σ 2 + 3 σ 3 ) − 2 ( σ 2 3 − 3 σ 3 σ 1 σ 2 + 3 σ 3 2 ) − 8 σ 3 ( σ 1 σ 2 − 3 σ 3 ) − 15 σ 3 2 {\displaystyle =\sigma _{1}^{2}\sigma _{2}^{2}-2\sigma _{3}(\sigma _{1}^{3}-3\sigma _{1}\sigma _{2}+3\sigma _{3})-2(\sigma _{2}^{3}-3\sigma _{3}\sigma _{1}\sigma _{2}+3\sigma _{3}^{2})-8\sigma _{3}(\sigma _{1}\sigma _{2}-3\sigma _{3})-15\sigma _{3}^{2}} = σ 1 2 σ 2 2 − 2 σ 3 σ 1 3 + 4 σ 3 σ 1 σ 2 − 3 σ 3 2 − 2 σ 2 3 {\displaystyle =\sigma _{1}^{2}\sigma _{2}^{2}-2\sigma _{3}\sigma _{1}^{3}+4\sigma _{3}\sigma _{1}\sigma _{2}-3\sigma _{3}^{2}-2\sigma _{2}^{3}} ,6 = 3 2 × 3 2 − 2 × 1 × 3 3 + 4 × 1 × 3 × 3 − 3 × 1 2 − 2 × 3 3 {\displaystyle 6=3^{2}\times 3^{2}-2\times 1\times 3^{3}+4\times 1\times 3\times 3-3\times 1^{2}-2\times 3^{3}} .
S 4 , 3 , 0 = σ 1 σ 2 3 − 3 σ 3 S 3 , 1 , 0 − 7 σ 3 S 2 , 2 , 0 − 12 σ 3 2 σ 1 = σ 1 σ 2 3 − 3 σ 3 σ 1 2 σ 2 − σ 3 σ 2 2 + 5 σ 3 2 σ 1 {\displaystyle S_{4,3,0}=\sigma _{1}\sigma _{2}^{3}-3\sigma _{3}S_{3,1,0}-7\sigma _{3}S_{2,2,0}-12\sigma _{3}^{2}\sigma _{1}=\sigma _{1}\sigma _{2}^{3}-3\sigma _{3}\sigma _{1}^{2}\sigma _{2}-\sigma _{3}\sigma _{2}^{2}+5\sigma _{3}^{2}\sigma _{1}} ,6 = 3 × 3 3 − 3 × 1 × 3 2 × 3 − 1 × 3 2 + 5 × 1 2 × 3 {\displaystyle 6=3\times 3^{3}-3\times 1\times 3^{2}\times 3-1\times 3^{2}+5\times 1^{2}\times 3} .
S 4 , 4 , 0 = σ 2 4 − 4 σ 3 S 3 , 2 , 0 − 6 σ 3 2 ( σ 1 2 − 2 σ 2 ) − 12 σ 3 2 σ 2 = σ 2 4 − 4 σ 3 σ 1 σ 2 2 + 2 σ 3 2 σ 1 2 + 4 σ 3 2 σ 2 {\displaystyle S_{4,4,0}=\sigma _{2}^{4}-4\sigma _{3}S_{3,2,0}-6\sigma _{3}^{2}(\sigma _{1}^{2}-2\sigma _{2})-12\sigma _{3}^{2}\sigma _{2}=\sigma _{2}^{4}-4\sigma _{3}\sigma _{1}\sigma _{2}^{2}+2\sigma _{3}^{2}\sigma _{1}^{2}+4\sigma _{3}^{2}\sigma _{2}} ,3 = 3 4 − 4 × 1 × 3 × 3 2 + 2 × 1 2 × 3 2 + 4 × 1 2 × 3 {\displaystyle 3=3^{4}-4\times 1\times 3\times 3^{2}+2\times 1^{2}\times 3^{2}+4\times 1^{2}\times 3} .
Démontrer que les polynômes symétriques en trois variables invariants par translation (de ces trois variables) sont les polynômes en σ 2 − σ 1 2 3 {\displaystyle \sigma _{2}-{\frac {\sigma _{1}^{2}}{3}}} et σ 3 − σ 1 σ 2 3 + 2 σ 1 3 27 {\displaystyle \sigma _{3}-{\frac {\sigma _{1}\sigma _{2}}{3}}+{\frac {2\sigma _{1}^{3}}{27}}} .
Solution
Les polynômes symétriques élémentaires en les Y i := X i − a {\displaystyle Y_{i}:=X_{i}-a} (que nous noterons σ i ′ {\displaystyle \sigma '_{i}} ) se déduisent de ceux (notés σ i {\displaystyle \sigma _{i}} ) en X 1 , X 2 , X 3 {\displaystyle X_{1},X_{2},X_{3}} par identification des coefficients dans :
Y 3 − σ 1 ′ Y 2 + σ 2 ′ Y − σ 3 ′ = ( Y + a ) 3 − σ 1 ( Y + a ) 2 + σ 2 ( Y + a ) − σ 3 {\displaystyle Y^{3}-\sigma '_{1}Y^{2}+\sigma '_{2}Y-\sigma '_{3}=(Y+a)^{3}-\sigma _{1}(Y+a)^{2}+\sigma _{2}(Y+a)-\sigma _{3}} ,ce qui donne :
σ 1 ′ = σ 1 − 3 a , σ 2 ′ = σ 2 − 2 a σ 1 + 3 a 2 , σ 3 ′ = σ 3 − a σ 2 + a 2 σ 1 − a 3 {\displaystyle \sigma '_{1}=\sigma _{1}-3a,\quad \sigma '_{2}=\sigma _{2}-2a\sigma _{1}+3a^{2},\quad \sigma '_{3}=\sigma _{3}-a\sigma _{2}+a^{2}\sigma _{1}-a^{3}} .Un polynôme en X 1 , X 2 , X 3 {\displaystyle X_{1},X_{2},X_{3}} est symétrique et invariant par translation si c'est un polynôme symétrique en les X i − σ 1 3 {\displaystyle X_{i}-{\frac {\sigma _{1}}{3}}} , c'est-à-dire, d'après ce qui précède, un polynôme en
σ 2 − 2 σ 1 3 σ 1 + 3 ( σ 1 3 ) 2 {\displaystyle \sigma _{2}-2{\frac {\sigma _{1}}{3}}\sigma _{1}+3\left({\frac {\sigma _{1}}{3}}\right)^{2}} et σ 3 − σ 1 3 σ 2 + ( σ 1 3 ) 2 σ 1 − ( σ 1 3 ) 3 {\displaystyle \sigma _{3}-{\frac {\sigma _{1}}{3}}\sigma _{2}+\left({\frac {\sigma _{1}}{3}}\right)^{2}\sigma _{1}-\left({\frac {\sigma _{1}}{3}}\right)^{3}} ,égaux respectivement à
σ 2 − σ 1 2 3 {\displaystyle \sigma _{2}-{\frac {\sigma _{1}^{2}}{3}}} et σ 3 − σ 1 σ 2 3 + 2 σ 1 3 27 {\displaystyle \sigma _{3}-{\frac {\sigma _{1}\sigma _{2}}{3}}+{\frac {2\sigma _{1}^{3}}{27}}} .
Trouvez tous les triplets de nombres complexes ( x , y , z ) {\displaystyle (x,y,z)} vérifiant la condition suivante :
x + y + z = x y + x z + y z = 3 {\displaystyle x+y+z=xy+xz+yz=3} .En déduire que le seul triplet de nombres réels vérifiant la condition précédente est le triplet (1, 1, 1).
Solution
Il nous manquerait simplement une condition sur le produit des trois nombres x , y , z {\displaystyle x,y,z} pour construire une équation du troisième degré ayant pour racines x , y , z {\displaystyle x,y,z} . Nous poserons arbitrairement ce produit égal à un paramètre complexe m {\displaystyle m} . Nous avons alors :
{ x + y + z = 3 x y + x z + y z = 3 x y z = m . {\displaystyle {\begin{cases}x+y+z=3\\xy+xz+yz=3\\xyz=m.\end{cases}}} Les nombres x, y , z sont alors les trois racines de l'équation :
t 3 − 3 t 2 + 3 t − m = 0 {\displaystyle t^{3}-3t^{2}+3t-m=0} ,qui se met sous la forme
( t − 1 ) 3 + 1 − m = 0 {\displaystyle (t-1)^{3}+1-m=0} .Les triplets de nombres complexes répondant à la question sont donc :
( 1 − m − 1 3 , 1 − j m − 1 3 , 1 − j 2 m − 1 3 ) {\displaystyle \left(1-{\sqrt[{3}]{m-1}},\quad 1-\mathrm {j} {\sqrt[{3}]{m-1}},\quad 1-\mathrm {j} ^{2}{\sqrt[{3}]{m-1}}\right)} (m {\displaystyle m} étant un paramètre complexe),
ainsi que les triplets obtenus en permutant de toutes les façons possibles les trois coordonnées.
Ces trois coordonnées sont réelles si et seulement si les trois nombres
m − 1 3 , j m − 1 3 , j 2 m − 1 3 {\displaystyle {\sqrt[{3}]{m-1}},\quad \mathrm {j} {\sqrt[{3}]{m-1}},\quad \mathrm {j} ^{2}{\sqrt[{3}]{m-1}}} le sont.
Puisque j ∉ R {\displaystyle \mathrm {j} \notin \mathbb {R} } , cela n'est possible que si m − 1 3 = 0 {\displaystyle {\sqrt[{3}]{m-1}}=0} , c'est-à-dire m = 1 {\displaystyle m=1} .
Le triplet obtenu est alors (1, 1, 1).
Remarque
Pour un autre exercice sur la somme et le produit des racines d'une équation du troisième degré, voir l'exercice 7-5.