Équation du quatrième degré/Exercices/Sur les méthodes particulières
Exercice 4-1
modifierRésoudre dans l’ensemble des nombres réels l'équation :
en exprimant les solutions à l'aide d'une fonction tangente.
Le domaine de définition de l'équation est :
Dans l'équation, en effectuant le produit en croix, on obtient :
Ce qui, après développement et transfert dans le premier membre donne :
Nous rechercherons une racine évidente sous la forme p/q avec p diviseur de 8 et q diviseur de 4.
Les nombres susceptibles de marcher sont :
Après essai, nous voyons que c’est 1/2 qui marche, ce qui signifie que l’on peut mettre 2x - 1 en facteur.
Pour trouver de quoi 2x - 1 est en facteur, nous pouvons effectuer une division euclidienne.
Nous voyons alors que l'équation se factorise sous la forme :
Nous avons trouvé une première racine :
Pour trouver les trois racines manquantes, il nous reste à résoudre l'équation :
Qui est une équation de la forme :
avec :
Comme il nous est demandé des solutions s'exprimant avec la fonction tangente, nous résoudrons l'équation en utilisant la méthode trigonométrique en tangente.
Nous commencerons par faire le changement de variable :
On obtient :
Qui donne en développant :
Qui est une équation de la forme :
Avec :
On peut vérifier que l’on a bien sp - 9rq = 0.
Posons ensuite :
On obtient :
Que l’on peut écrire :
Que l’on peut mettre sous la forme :
Qui se simplifie sous la forme :
Qui peut encore s'écrire :
Nous en déduisons :
Que l’on peut écrire :
La représentation de l’ensemble de ces valeurs sur le cercle trigonométrique montre que l’on peut se limiter à :
En reportant dans :
Nous obtenons les trois valeurs :
En reportant finalement ces valeurs dans :
on obtient :
En conclusion, les quatre racines de l'équation :
sont :
Exercice 4-2
modifierRésoudre dans l’ensemble des nombres complexes l'équation :
Le discriminant du trinôme se trouvant au dénominateur du premier membre de l'équation étant négatif, le domaine de définition de l'équation est :
Dans l'équation, en effectuant le produit en croix, on obtient :
Ce qui, après développement et transfert dans le premier membre donne :
Nous avons une équation de la forme :
Avec :
Nous constatons alors que :
Nous pouvons donc nous ramener à une équation bicarrée du quatrième degré grâce au changement de variable :
On obtient :
Ce qui donne après développement :
Posons alors :
On obtient :
Le discriminant de cette dernière équation est :
On en déduit les deux racines
Comme on a posé :
On obtient :
Ce qui nous donne les quatre racines :
Et en reportant dans :
On peut conclure que les racines de l'équation :
sont :
Exercice 4-3
modifierRésoudre dans l’ensemble des nombres complexes l'équation :
(avec i2 = -1.)
Après développement, produit en croix et regroupement dans le premier membre, l'équation s'écrit :
L'équation vérifiant la condition ad2 = eb2, nous diviserons tous les termes par x2, on obtient :
Que l’on factorisera sous la forme :
Posons alors :
Il s'en suit :
En portant dans l'équation, nous obtenons :
Qui s'écrit :
D'après une très célèbre identité remarquable, on obtient :
En simplifiant :
et par conséquent :
Premier cas : si z=2-i.
Nous avions posé :
Nous aurons donc :
Qui nous donnera l'équation du second degré suivante :
Calculons le discriminant :
Les racines de l'équation sont donc :
Deuxième cas : si z=4+i.
Nous avions posé :
Nous aurons donc :
Qui nous donnera l'équation du second degré suivante :
Calculons le discriminant :
Les racines de l'équation sont donc :
Conclusion.
Les racines de l'équation :
sont :
Exercice 4-4
modifierSoit ABC un triangle isocèle en A. Soit H, le pied de la hauteur issu de A. On pose h = AH. Soit ₡ le cercle de centre H, de rayon r et tangent aux deux côtés [AB] et [AC].
Calculer le rapport h/r de façon que l'aire du triangle ABC soit égale à l'aire du cercle ₡.
Soit T le point de tangence du côté [AC] par rapport au cercle. Une tangente à un cercle étant perpendiculaire au rayon correspondant, le triangle ATH sera rectangle en T. Et l’on aura :
D'autre part, le triangle AHC étant aussi rectangle en H, on a aussi :
D'où l’on déduit :
L'aire du triangle ABC étant égale à l'aire du cercle ₡, on a :
En éliminant HC entre les deux dernières relations, on obtient :
Il ne nous reste plus qu'à appliquer le théorème de Pythagore dans le triangle AHC, on obtient :
Nous connaissons la mesure des côtés du triangle AHC en fonction de h et de r. Nous obtenons alors :
Soit :
En divisant tous les termes par r4 et en les multipliant par h2, on obtient :
Et nous voyons que h/r est racine d'une équation bicarrée du quatrième degré.
Nous poserons donc :
Nous obtenons l'équation du second degré suivante :
Dont le discriminant est :
Les deux racines de l'équation du second degré seront donc :
En reportant ces deux valeurs de X dans :
On obtient finalement compte tenu du fait que le rapport h/r est positif :
Exercice 4-5
modifierSoit une équation du second degré :
ayant pour racines x1 et x2
et une autre équation du second degré :
ayant pour racines y1 et y2.
Première partie.
On pose :
Montrer que l'équation du quatrième degré ayant pour racines z1, z2, z3, z4 est une équation réciproque (quasisymétrique) du quatrième degré.
Deuxième partie.
On pose :
Montrer que l'équation du quatrième degré ayant pour racines z1, z2, z3, z4 se ramène à une équation bicarrée.
- Soit . Alors, les polynômes symétriques élémentaires en les vérifient : et donc , ce qui prouve (si , c'est-à-dire ici ) que l'équation de racines les est quasisymétrique.
- Soit . Alors, en posant , on a donc l'équation de racines les est bicarrée.
Exercice 4-6
modifierNous avons vu en cours que équivaut à une équation de la forme .
Préciser sous la forme de fractions dépendant de .
En développant
- ,
on trouve :
- ;
- ;
- .
Exercice 4-7
modifierTrouver les racines rationnelles de .
Pour que le rationnel (avec entiers premiers entre eux) soit racine, il faut que et , donc . Parmi ces huit rationnels, seuls et sont effectivement racines de . D'ailleurs, .