Équation du troisième degré/Exercices/Nombres algébriques de degré 3

Nombres algébriques de degré 3
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Exercices no8
Leçon : Équation du troisième degré
Chapitre du cours : Nombres algébriques de degré 3

Exercices de niveau 14.

Exo préc. :Résolution de problèmes du troisième degré
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Équation du troisième degré/Exercices/Nombres algébriques de degré 3
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Exercice 8-1Modifier

Calculer le polynôme minimal sur   de chacun des nombres suivants :

  1.    est l'une des trois racines cubiques de   ;
  2.   ;
  3.  .

Exercice 8-2Modifier

Soient α un nombre algébrique de degré 3, de polynôme minimal

 

et

 

une transformation homographique, avec  ,   et  .

Calculer le polynôme minimal de  .

Application : quel est le polynôme minimal de   ?

Exercice 8-3Modifier

Montrer que les trois nombres

 

sont algébriques de degré 3 et de même polynôme minimal :

 .

Exercice 8-4Modifier

Montrer que les trois nombres

 ,   et  

sont algébriques de degré 3 et de même polynôme minimal :

 .

Exercice 8-5Modifier

Vérifier que pour   avec   :

 .

En déduire que les trois nombres  ,   et   sont algébriques de degré 3 et de même polynôme minimal :

 ,

puis résoudre l'équation

 .

En déduire aussi que le nombre

 

est égal à  .

Exercice 8-6Modifier

Montrer que si un nombre est algébrique de degré 3 alors son carré l'est aussi.

Soit  . Former le polynôme unitaire   de degré 3 dont les racines sont les carrés des racines de  .

Exercice 8-7Modifier

Soit  . On suppose qu'il existe des entiers   non tous nuls tels que

 .
  1. Montrer que si   est vrai, alors  .
  2. Montrer alors que   est solution d'une équation   avec  . Trouver un autre polynôme   annulé par   et conclure que   est impossible.