Équation du troisième degré/Exercices/Nombres algébriques de degré 3

Exercice 8-1

Calculer le polynôme minimal sur $\mathbb {Q}$ de chacun des nombres suivants :

1. $\alpha =u+{\overline {u}}$ où $u$ est l'une des trois racines cubiques de $5+\mathrm {i} {\sqrt {2}}$ ;
2. $\beta ={\sqrt[{3}]{2+{\sqrt {3}}}}+{\sqrt[{3}]{2-{\sqrt {3}}}}$ ;
3. $\gamma =\mathrm {j} {\sqrt[{3}]{1-{\sqrt {2}}}}+\mathrm {j} ^{2}{\sqrt[{3}]{1+{\sqrt {2}}}}$.

Solution

1. $u^{3}+{\overline {u}}^{3}=10$ et $u{\overline {u}}=|u|^{2}={\sqrt[{3}]{|5+\mathrm {i} {\sqrt {2}}|^{2}}}=3$ donc $\alpha ^{3}=u^{3}+{\overline {u}}^{3}+3\alpha u{\overline {u}}=10+9\alpha$. Aucun des diviseurs du terme constant $-10$ n'est racine du polynôme $X^{3}-9X-10$, qui est donc irréductible sur $\mathbb {Q}$. C'est donc le polynôme minimal de α.
2. $\beta =u+v$ avec $u^{3}+v^{3}=4$ et $uv=1$ donc $\beta ^{3}=4+3\beta$. Aucun des diviseurs du terme constant $-4$ n'est racine du polynôme $X^{3}-3X-4$, qui est donc irréductible sur $\mathbb {Q}$. C'est donc le polynôme minimal de β.
3. $\gamma =u+v$ avec $u^{3}+v^{3}=2$ et $uv=-1$, donc $\gamma ^{3}=2-3\gamma$. Le polynôme $X^{3}+3X-2$ étant irréductible sur $\mathbb {Q}$, c'est donc le polynôme minimal de γ.

 

Exercice 8-2

Soient α un nombre algébrique de degré 3, de polynôme minimal

$P(X)=X^{3}+pX^{2}+qX+r$

et

$f(t)={\frac {at+b}{ct+d}}$

une transformation homographique, avec $a,b,c,d\in \mathbb {Q}$, $ad-bc\neq 0$ et $c\neq 0$.

Calculer le polynôme minimal de $\beta :=f(\alpha )$.

Solution

Explicitons le résultat du cours dans ce cas particulier.

${\begin{aligned}\beta ={\frac {a\alpha +b}{c\alpha +d}}&\Leftrightarrow (c\alpha +d)\beta =a\alpha +b\\&\Leftrightarrow (c\beta -a)\alpha =b-d\beta \\&\Leftrightarrow \alpha ={\frac {b-d\beta }{c\beta -a}}\end{aligned}}$

Donc $\beta$ est une racine du polynôme

${\begin{aligned}R(X)&:=(cX-a)^{3}P\left({\frac {b-dX}{cX-a}}\right)\\&=(b-dX)^{3}+p(b-dX)^{2}(cX-a)+q(b-dX)(cX-a)^{2}+r(cX-a)^{3}\\&=X^{3}c^{3}P(-d/c)+X^{2}[3bd^{2}+p(-ad^{2}-2bcd)+q(bc^{2}+2acd)-3rac^{2}]\\&+X[-3b^{2}d+p(b^{2}c+2abd)+q(-2abc-a^{2}d)+3ra^{2}c]+b^{3}-pab^{2}+qa^{2}b-ra^{3}\end{aligned}}$

et son polynôme minimal est le quotient de ce polynôme (irréductible sur $\mathbb {Q}$ par construction) par son coefficient dominant :

$Q(X)={\frac {R(X)}{c^{3}P(-d/c)}}={\frac {(X-a/c)^{3}}{P(-d/c)}}P\left({\frac {b-dX}{cX-a}}\right)$.

 

Application : quel est le polynôme minimal de ${\frac {\cos {\frac {\pi }{7}}}{3\cos {\frac {\pi }{7}}-1}}$ ?

Solution

En appliquant ce qui précède à

$\alpha =\cos {\frac {\pi }{7}}$ dont (cf. cours) on connaît le polynôme minimal

$P(X)=X^{3}-{\frac {1}{2}}X^{2}-{\frac {1}{2}}X+{\frac {1}{8}}\quad {\text{donc}}\quad p=q=-{\frac {1}{2}},\quad r={\frac {1}{8}}$ et à

$f(t)={\frac {t}{3t-1}}\quad {\text{donc}}\quad a=1,\quad b=0,\quad c=3,\quad d=-1$,

on trouve :

$R(X)=-{\frac {13}{8}}X^{3}+{\frac {1}{8}}X^{2}+{\frac {5}{8}}X-{\frac {1}{8}}$

donc le polynôme minimal de ${\frac {\cos {\frac {\pi }{7}}}{3\cos {\frac {\pi }{7}}-1}}$ est

$Q(X)=X^{3}-{\frac {1}{13}}X^{2}-{\frac {5}{13}}X+{\frac {1}{13}}$.

 

Exercice 8-3

Montrer que les trois nombres

${\frac {\tan {\frac {\pi }{9}}}{\sqrt {3}}},\quad {\frac {\tan {\frac {4\pi }{9}}}{\sqrt {3}}}\quad {\text{et}}\quad -{\frac {\tan {\frac {2\pi }{9}}}{\sqrt {3}}}$

sont algébriques de degré 3 et de même polynôme minimal :

$P(X)=X^{3}-3X^{2}-X+{\frac {1}{3}}$.

Solution

Le polynôme P n'a pas de racine rationnelle, donc il suffit de montrer que ces trois nombres (distincts) sont ses racines.

Pour $k\in \{1,4,-2\}$, posons

$\theta ={\frac {k\pi }{9}}$, $t=\tan \theta$ et $s={\frac {t}{\sqrt {3}}}$.

Alors,

${\sqrt {3}}=\tan 3\theta ={\frac {3t-t^{3}}{1-3t^{2}}}$

donc

$0=t^{3}-3{\sqrt {3}}t^{2}-3t+1=3{\sqrt {3}}P(s)$.

C'est un exemple de « résolution trigonométrique en tangente » (chap. 6).

 

Exercice 8-4

Montrer que les trois nombres

${\frac {\sin {\frac {\pi }{9}}}{\sqrt {3}}}$, ${\frac {\sin {\frac {2\pi }{9}}}{\sqrt {3}}}$ et $-{\frac {\sin {\frac {4\pi }{9}}}{\sqrt {3}}}$

sont algébriques de degré 3 et de même polynôme minimal :

$P(X)=X^{3}-{\frac {1}{4}}X+{\frac {1}{24}}$.

Solution

Le polynôme P n'a pas de racine rationnelle, donc il suffit de montrer que ces trois nombres (distincts) sont ses racines.

Pour $k\in \{1,2,-4\}$, posons

$\theta ={\frac {k\pi }{9}}$, $s=\sin \theta$ et $t={\frac {s}{\sqrt {3}}}$.

Alors,

${\frac {\sqrt {3}}{2}}=\sin 3\theta =3s-4s^{3}$

donc

$0=4s^{3}-3s+{\frac {\sqrt {3}}{2}}=12{\sqrt {3}}P(t)$.

C'est un exemple de « résolution trigonométrique en sinus » (chap. 6).

 

Exercice 8-5

Vérifier que pour $\theta ={\frac {k\pi }{7}}$ avec $k\in \{1,2,4\}$ :

${\frac {\tan \theta }{\sqrt {7}}}=4{\frac {\sin(2\theta )}{\sqrt {7}}}-1$.

Solution

Pour ces trois valeurs de $\theta$, d'après la formule du sinus de l'angle double en fonction de la tangente et puisque le nombre $x:={\frac {\tan \theta }{\sqrt {7}}}$ vérifie $x^{2}(x+1)=x-1/7$ :

${\frac {\sin(2\theta )}{\sqrt {7}}}={\frac {2x}{1+7x^{2}}}={\frac {2x}{1+7{\frac {x-1/7}{x+1}}}}={\frac {x+1}{4}}$.

 

En déduire que les trois nombres ${\frac {\sin {\frac {\pi }{7}}}{\sqrt {7}}}$, $-{\frac {\sin {\frac {2\pi }{7}}}{\sqrt {7}}}$ et $-{\frac {\sin {\frac {3\pi }{7}}}{\sqrt {7}}}$ sont algébriques de degré 3 et de même polynôme minimal :

$P(X)=X^{3}+{\frac {1}{2}}X^{2}-{\frac {1}{56}}$,

puis résoudre l'équation

$7x^{2}={\frac {1}{x+1}}$.

Solution

D'après la question précédente, les trois nombres

${\frac {\sin {\frac {\pi }{7}}}{\sqrt {7}}}=-{\frac {\sin {\frac {8\pi }{7}}}{\sqrt {7}}}$, $-{\frac {\sin {\frac {2\pi }{7}}}{\sqrt {7}}}$ et $-{\frac {\sin {\frac {3\pi }{7}}}{\sqrt {7}}}=-{\frac {\sin {\frac {4\pi }{7}}}{\sqrt {7}}}$

sont algébriques de degré 3 et de polynôme minimal :

$-{\frac {1}{64}}\left((-4X-1)^{3}+(-4X-1)^{2}-(-4X-1)+{\frac {1}{7}}\right)=P(X)$.

L'équation

$7x^{2}={\frac {1}{x+1}}$

peut s'écrire :

$x^{3}+x^{2}-{\frac {1}{7}}=0$,

ou encore, en divisant par 8 :

$P(x/2)=0$.

Ses solutions sont donc

${\frac {2\sin {\frac {\pi }{7}}}{\sqrt {7}}}$, $-{\frac {2\sin {\frac {2\pi }{7}}}{\sqrt {7}}}$ et $-{\frac {2\sin {\frac {3\pi }{7}}}{\sqrt {7}}}$.

 

En déduire aussi que le nombre

$\beta :={\sqrt {2\left(1+\cos {\frac {\pi }{7}}\right)}}+{\sqrt {2\left(1+\cos {\frac {3\pi }{7}}\right)}}+{\sqrt {2\left(1-\cos {\frac {2\pi }{7}}\right)}}$

est égal à $\tan {\frac {3\pi }{7}}$.

Solution

${\begin{aligned}{\sqrt {2\left(1+\cos {\frac {\pi }{7}}\right)}}+{\sqrt {2\left(1+\cos {\frac {3\pi }{7}}\right)}}+{\sqrt {2\left(1-\cos {\frac {2\pi }{7}}\right)}}&={\sqrt {2\left(1-\cos {\frac {8\pi }{7}}\right)}}+{\sqrt {2\left(1-\cos {\frac {4\pi }{7}}\right)}}+{\sqrt {2\left(1-\cos {\frac {2\pi }{7}}\right)}}\\&=2\left(\sin {\frac {4\pi }{7}}+\sin {\frac {2\pi }{7}}+\sin {\frac {\pi }{7}}\right)\\&=2\left(\sin {\frac {4\pi }{7}}+\sin {\frac {2\pi }{7}}-\sin {\frac {8\pi }{7}}\right)\\&={\frac {1}{2}}\left(\tan {\frac {2\pi }{7}}+\tan {\frac {\pi }{7}}-\tan {\frac {4\pi }{7}}+{\sqrt {7}}\right)\\&={\frac {1}{2}}\left(-2\tan {\frac {4\pi }{7}}\right)\\&=\tan {\frac {3\pi }{7}}.\end{aligned}}$

 

Exercice 8-6

Montrer que si un nombre est algébrique de degré 3 alors son carré l'est aussi.

Solution

Soit $\gamma$ algébrique de degré 3, de polynôme minimal $Q(X)$.

Le polynôme $R$ tel que $-Q(X)Q(-X)=R(X^{2})$ est unitaire, de degré 3, à coefficients entiers, et admet $\gamma ^{2}$ pour racine.

Il est irréductible car s'il avait une racine rationnelle, $Q$ aurait pour racine (irrationnelle, puisque $Q$ est irréductible) une racine carrée de ce rationnel donc aussi son opposée, si bien que la troisième racine de $Q$, quotient du produit des trois par le produit des deux premières, serait rationnelle, ce qui est absurde.

$R$ est donc le polynôme minimal de $\gamma ^{2}$.

 

Soit $Q(X)=X^{3}+X+1$. Former le polynôme unitaire $R$ de degré 3 dont les racines sont les carrés des racines de $Q$.

Solution

En appliquant la méthode ci-dessus, on trouve

$-Q(X)Q(-X)=(X^{3}+X+1)(X^{3}+X-1)=(X^{3}+X)^{2}-1=X^{6}+2X^{4}+X^{2}-1=R(X^{2})$ avec $R(X)=X^{3}+2X^{2}+X-1$.

Méthode plus « pédestre » : Soient $\alpha ,\beta ,\gamma$ les racines de $Q$.

Alors, $\alpha +\beta +\gamma =0$, $\alpha \beta +\beta \gamma +\alpha \gamma =1$ et $\alpha \beta \gamma =-1$ donc

$R(X)=(X-\alpha ^{2})(X-\beta ^{2})(X-\gamma ^{2})=X^{3}+pX^{2}+qX+r$ avec

• $p=-\alpha ^{2}-\beta ^{2}-\gamma ^{2}=-(\alpha +\beta +\gamma )^{2}+2(\alpha \beta +\beta \gamma +\alpha \gamma )=2$,
• $q=\alpha ^{2}\beta ^{2}+\beta ^{2}\gamma ^{2}+\alpha ^{2}\gamma ^{2}=(\alpha \beta +\beta \gamma +\alpha \gamma )^{2}-2\alpha \beta \gamma (\alpha \beta +\beta \gamma +\alpha \gamma )=1$,
• $r=\alpha ^{2}\beta ^{2}\gamma ^{2}=(\alpha \beta \gamma )^{2}=1$.

 

Exercice 8-7

Soit $\alpha ={\sqrt[{3}]{2}}$. On suppose qu'il existe des entiers $a,b,c$ non tous nuls tels que

$(*)\qquad a\alpha ^{2}+b\alpha +c=0$.

1. Montrer que si $(*)$ est vrai, alors $a\neq 0$.
2. Montrer alors que $\alpha$ est solution d'une équation $X^{2}+pX+q=0$ avec $p,q\in \mathbb {Q}$. Trouver un autre polynôme $X^{2}+p'X+q'$ annulé par $\alpha$ et conclure que $(*)$ est impossible.

Solution

1. Si $a$ était nul, on aurait $b\alpha +c=0$ avec $b,c$ entiers et $b\neq 0$, donc $\alpha$ serait rationnel, ce qui est absurde (on le démontre facilement par la même méthode que pour ${\sqrt {2}}$).
2. $\alpha ^{2}+p\alpha +q=0$ avec $p={\frac {b}{a}}\neq 0$ et $q={\frac {c}{a}}$. En multipliant par ${\frac {\alpha }{p}}$, on en déduit $\alpha ^{2}+p'\alpha +q'=0$ avec $p'={\frac {q}{p}}$ et $q'={\frac {2}{p}}$, d'où $0=(p-p')\alpha +(q-q')$ donc $p=p'$ et $q=q'$, c'est-à-dire $q=p^{2}$ et $qp=2$, d'où $2=p^{3}$ : absurde.