Équation du troisième degré/Nombres algébriques de degré 3

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Nombres algébriques et polynômes minimaux sur $\mathbb {Q}$

Quelques définitions

• Un nombre α est dit algébrique s'il est racine d'un polynôme non nul à coefficients rationnels.
• Le polynôme unitaire à coefficients rationnels de plus bas degré admettant α comme racine est appelé polynôme minimal de α.
• Si le polynôme minimal est de degré n, alors α est dit algébrique de degré n.

Un nombre est donc :

• algébrique de degré $1$ si et seulement s'il est rationnel ;
• algébrique de degré $3$ si et seulement s'il est racine d'un polynôme de degré $3$ à coefficients rationnels qui n'a pas de racine rationnelle.

Exemples de nombres algébriques de degré 3

Début de l'exemple

Exemple

Les nombres :

${\sqrt[{3}]{5}}$, $\mathrm {j} {\sqrt[{3}]{5}}$ et $\mathrm {j} ^{2}{\sqrt[{3}]{5}}$

sont algébriques de degré $3$ et de même polynôme minimal :

$X^{3}-5$.

Fin de l'exemple

Proposition 1

Les nombres :

$\cos {\frac {\pi }{9}}$, $\cos {\frac {5\pi }{9}}$ et $\cos {\frac {7\pi }{9}}$

sont algébriques de degré $3$ et de même polynôme minimal :

$P(X)=X^{3}-{\frac {3}{4}}X-{\frac {1}{8}}$

Démonstration

Le polynôme P n'a pas de racine rationnelle (car les seuls candidats possibles — les inverses des diviseurs de 8 — ne sont pas racines) donc il suffit de vérifier, par « résolution trigonométrique en cosinus » (chap. 6), que les trois nombres proposés (distincts) sont ses racines. On peut même, sans que ce polynôme soit donné à l'avance, le découvrir en remarquant que pour $\theta \in \left\{{\frac {\pi }{9}},{\frac {5\pi }{9}},{\frac {7\pi }{9}}\right\}$, d'après les « formules de délinéarisation »,

${\frac {1}{2}}=\cos {\frac {\pi }{3}}=\cos(3\theta )=4\cos ^{3}\theta -3\cos \theta$.

Voir aussi les exemples de Recherche:Polynômes annulateurs de nombres sous la forme cosinus ou tangente/Méthodes d'obtention des polynômes.

 

Proposition 2

1. Les nombres :

   $\tan ^{2}{\frac {\pi }{7}}$, $\tan ^{2}{\frac {2\pi }{7}}$ et $\tan ^{2}{\frac {3\pi }{7}}$

   sont algébriques de degré $3$ et de même polynôme minimal :

   $Q(X):=X^{3}-21X^{2}+35X-7$.

2. Les nombres :

   ${\frac {\tan {\frac {\pi }{7}}}{\sqrt {7}}}$, ${\frac {\tan {\frac {2\pi }{7}}}{\sqrt {7}}}$ et $-{\frac {\tan {\frac {3\pi }{7}}}{\sqrt {7}}}$

   sont algébriques de degré $3$ et de même polynôme minimal :

   $P(X):=X^{3}+X^{2}-X+{\frac {1}{7}}$.

Démonstration

Les polynômes $P$ et $Q$ n'ont pas de racine rationnelle donc il suffit, dans les deux cas, de montrer que les trois nombres proposés sont ses racines.

Posons $\theta ={\frac {k\pi }{7}}$, $t=\tan \theta$ et $s={\frac {t}{\sqrt {7}}}$. Si $k\in \{\pm 1,\pm 2,\pm 3\}$ alors $t\neq 0$ et

$0=\tan 7\theta ={\frac {7t-35t^{3}+21t^{5}-t^{7}}{1-21t^{2}+35t^{4}-7t^{6}}}$ (voir cet exercice) donc

$0=t^{6}-21t^{4}+35t^{2}-7=Q(t^{2})$,

ce qui prouve le premier point.

De plus,

$Q(t^{2})=(t^{3}+{\sqrt {7}}t^{2}-7t+{\sqrt {7}})(t^{3}-{\sqrt {7}}t^{2}-7t-{\sqrt {7}})=-7^{3}P(s)P(-s)$.

Les six nombres ${\frac {\tan {\frac {k\pi }{7}}}{\sqrt {7}}}$ pour $k\in \{\pm 1,\pm 2,\pm 3\}$, sont donc les trois racines de $P(X)$ et leurs opposés, racines de $P(-X)$, et il reste à vérifier que ceux correspondant à $k\in \{1,2,-3\}$ sont les racines de $P(X)$.

On vérifie facilement que si $P\left({\frac {t}{\sqrt {7}}}\right)=0$ alors $P\left({\frac {\frac {2t}{1-t^{2}}}{\sqrt {7}}}\right)=0$. Les deux groupes de trois racines (un groupe pour $P(X)$ et l'autre pour $P(-X)$) se répartissent donc en :

${\frac {\tan {\frac {\pi }{7}}}{\sqrt {7}}}$, ${\frac {\tan {\frac {2\pi }{7}}}{\sqrt {7}}}$ et ${\frac {\tan {\frac {4\pi }{7}}}{\sqrt {7}}}={\frac {\tan {\frac {-3\pi }{7}}}{\sqrt {7}}}$

d'une part, et leurs opposées de l'autre. Pour déterminer lequel des deux groupes correspond à $P(X)$, il suffit d'examiner le signe du produit des trois racines : pour $P(X)$, le produit est $-{\frac {1}{7}}<0$, or

${\frac {\tan {\frac {\pi }{7}}}{\sqrt {7}}}{\frac {\tan {\frac {2\pi }{7}}}{\sqrt {7}}}{\frac {\tan {\frac {-3\pi }{7}}}{\sqrt {7}}}<0$.

C'est donc bien ce premier groupe qui correspond à $P(X)$.

 

Corollaire

Les nombres :

$\cos {\frac {\pi }{7}}$, $\cos {\frac {3\pi }{7}}$ et $\cos {\frac {5\pi }{7}}$

sont algébriques de degré $3$ et de même polynôme minimal :

$P(X)=X^{3}-{\frac {1}{2}}X^{2}-{\frac {1}{2}}X+{\frac {1}{8}}$.

Deux démonstrations

Preuve comme corollaire du premier point de la proposition précédente :

$\cos {\frac {\pi }{7}}=-\cos {\frac {8\pi }{7}}$, $\cos {\frac {3\pi }{7}}=-\cos {\frac {4\pi }{7}}$ et $\cos {\frac {5\pi }{7}}=-\cos {\frac {2\pi }{7}}$.

Pour $k\in \{1,2,4\}$, d'après la formule du cosinus de l'angle double en fonction de la tangente,

$-\cos {\frac {2k\pi }{7}}={\frac {\tan ^{2}{\frac {k\pi }{7}}-1}{\tan ^{2}{\frac {k\pi }{7}}+1}}$

donc

$\tan ^{2}{\frac {k\pi }{7}}={\frac {1-\cos {\frac {2k\pi }{7}}}{1+\cos {\frac {2k\pi }{7}}}}$,

ce qui prouve que le polynôme minimal de $-\cos {\frac {2k\pi }{7}}$ est

${\frac {1}{64}}\left[(1+X)^{3}-21(1+X)^{2}(1-X)+35(1+X)(1-X)^{2}-7(1-X)^{3}\right]=P(X)$.

Vérification directe :

Une méthode moins performante (car elle suppose P donné à l'avance) consiste à vérifier que P n'a pas de racine rationnelle (car les seuls candidats possibles — les inverses des diviseurs de 8 — ne sont pas racines) et que pour $\theta ={\frac {k\pi }{7}}$ avec $k\in \{1,3,5\}$,

${\begin{aligned}P(\cos \theta )&=\left({\frac {\mathrm {e} ^{\mathrm {i} \theta }+\mathrm {e} ^{-\mathrm {i} \theta }}{2}}\right)^{3}-{\frac {1}{2}}\left({\frac {\mathrm {e} ^{\mathrm {i} \theta }+\mathrm {e} ^{-\mathrm {i} \theta }}{2}}\right)^{2}-{\frac {1}{2}}{\frac {\mathrm {e} ^{\mathrm {i} \theta }+\mathrm {e} ^{-\mathrm {i} \theta }}{2}}+{\frac {1}{8}}\\&={\frac {\mathrm {e} ^{3\mathrm {i} \theta }+3\mathrm {e} ^{\mathrm {i} \theta }+3\mathrm {e} ^{-\mathrm {i} \theta }+\mathrm {e} ^{-3\mathrm {i} \theta }}{8}}-{\frac {\mathrm {e} ^{2\mathrm {i} \theta }+2+\mathrm {e} ^{-2\mathrm {i} \theta }}{8}}-{\frac {\mathrm {e} ^{\mathrm {i} \theta }+\mathrm {e} ^{-\mathrm {i} \theta }}{4}}+{\frac {1}{8}}\\&={\frac {\mathrm {e} ^{-3\mathrm {i} \theta }-\mathrm {e} ^{-2\mathrm {i} \theta }+\mathrm {e} ^{-\mathrm {i} \theta }-1+\mathrm {e} ^{\mathrm {i} \theta }-\mathrm {e} ^{2\mathrm {i} \theta }+\mathrm {e} ^{3\mathrm {i} \theta }}{8}}\\&={\frac {\mathrm {e} ^{-3\mathrm {i} \theta }}{8}}\left(1-\mathrm {e} ^{\mathrm {i} \theta }+\mathrm {e} ^{2\mathrm {i} \theta }-\dots +\mathrm {e} ^{6\mathrm {i} \theta }\right)\\&={\frac {\mathrm {e} ^{-3\mathrm {i} \theta }}{8}}{\frac {1-\left(-\mathrm {e} ^{\mathrm {i} \theta }\right)^{7}}{1+\mathrm {e} ^{\mathrm {i} \theta }}}\\&={\frac {\mathrm {e} ^{-3\mathrm {i} \theta }}{8}}{\frac {1-1}{1+\mathrm {e} ^{\mathrm {i} \theta }}}\\&=0.\end{aligned}}$

Voir aussi les exemples de Recherche:Polynômes annulateurs de nombres sous la forme cosinus ou tangente/Méthodes d'obtention des polynômes.

 

Changement de variable homographique

Début d’un théorème

Théorème

Si $x$ est algébrique de degré $n>1$ alors, pour tous rationnels $a,b,c,d$ tels que $ad-bc\neq 0$, le nombre

$y:={\frac {ax+b}{cx+d}}$ est bien défini, et algébrique de degré $n$.

Fin du théorème

Démonstration

La fonction $f:t\mapsto {\frac {at+b}{ct+d}}$ s'écrit :

• si $c=0$ (donc $ad\neq 0$) : $f(t)={\frac {a}{d}}t+{\frac {b}{d}}$ ;
• si $c\neq 0$ : $f(t)={\frac {bc-ad}{c^{2}}}{\frac {1}{t+{\frac {d}{c}}}}+{\frac {a}{c}}$ (définie pour $t\neq -{\frac {d}{c}}$).

Dans les deux cas, c'est une composée d'applications élémentaires qui transforment tout irrationnel en un irrationnel en préservant, le cas échéant, son algébricité et son degré : translation par un rationnel, homothétie par un rationnel non nul, et fonction inverse.

 

Plus précisément : si $P$ est le polynôme minimal de $x$ alors celui de $y$ est :

• si $c=0$ : $Q(X)=\left({\frac {a}{d}}\right)^{n}P\left({\frac {dX-b}{a}}\right)$ ;
• sinon : $Q(X)={\frac {(X-a/c)^{n}}{P(-d/c)}}P\left({\frac {b-dX}{cX-a}}\right)$.

Les discriminants de ces deux polynômes sont donc liés par :

• si $c=0$ : $\Delta _{Q}=\left({\frac {a}{d}}\right)^{n(n-1)}\Delta _{P}$ ;
• sinon : $\Delta _{Q}=\left({\frac {ad-bc}{c^{2}}}\right)^{n(n-1)}{\frac {\Delta _{P}}{P(-d/c)^{n-1}}}$.