Équation du troisième degré/Exercices/Résolution de problèmes du troisième degré

Définition

Un problème du troisième degré est un problème dont la résolution fait intervenir une équation du troisième degré.

Exercice 7-1

On dispose d'un récipient cylindrique et d'une boule. Pour pouvoir mettre aisément la boule dans le récipient, le rayon de sa base fait trois centimètres de plus que le rayon de la boule. On commence par mettre de l'eau dans le récipient à une hauteur supérieure au diamètre de la boule et ensuite, on y trempe la boule de façon à ce que celle-ci soit totalement immergée (la boule ne flotte pas et va au fond du récipient). On constate alors que le niveau de l'eau a augmenté de cinq centimètres par rapport à ce qu’il était avant d'y mettre la boule.

Calculer la valeur exacte du rayon de la boule et en déduire une valeur approchée au millimètre près de celui-ci.

Solution

Soit r le rayon de la boule.

Le rayon du cylindre sera donc, par conséquent, r + 3.

Le volume de la boule sera :

${\frac {4}{3}}\pi r^{3}~$

L'eau, ayant monté de cinq centimètres, semble occuper un volume supplémentaire de :

$\pi (r+3)^{2}\times 5~$

En réalité, ce volume supplémentaire apparent d'eau correspond au volume d'eau chassé par la boule lors de son introduction. Il y a donc égalité entre les deux volumes calculés précédemment. On a donc :

${\frac {4}{3}}\pi r^{3}=\pi (r+3)^{2}\times 5~$

Nous voyons que π se simplifie. En multipliant par 3 et en mettant tout dans le premier membre, on obtient :

$4r^{3}-15(r+3)^{2}=0~$

En développant, on obtient :

$4r^{3}-15r^{2}-90r-135=0~$

Et nous nous retrouvons à résoudre une équation du troisième degré.

Pour éliminer le terme de degré 2 posons :

$r=x+{\frac {5}{4}}~$

On obtient après simplification :

$32x^{3}-870x-2105=0~$

Posons :

$x=u+v~$

On obtient :

$32(u+v)^{3}-870(u+v)-2105=0~$

Qui peut s'écrire :

$32(u^{3}+v^{3})+(96uv-870)(u+v)-2105=0~$

Posons :

$uv={\frac {870}{96}}={\frac {145}{16}}~$

On obtient :

$\left\{{\begin{matrix}u^{3}+v^{3}={\frac {2105}{32}}\\u^{3}v^{3}={\frac {3048625}{4096}}\end{matrix}}\right.$

u³ et v³ sont donc racines de l'équation :

$4096X^{2}-269440X+3048625=0~$

Qui a pour racine :

$\left\{{\begin{matrix}u^{3}={\frac {5(96{\sqrt {6}}+421)}{64}}\\v^{3}={\frac {-5(96{\sqrt {6}}-421)}{64}}\end{matrix}}\right.$

En reportant dans toutes les expressions posées précédemment, on trouve :

$r={\sqrt[{3}]{\frac {5(96{\sqrt {6}}+421)}{64}}}+{\sqrt[{3}]{\frac {-5(96{\sqrt {6}}-421)}{64}}}+{\frac {5}{4}}$

En calculant au millimètre prés, on trouve r = 7,4 centimètres.

La boule a donc un rayon d'environ 7,4 centimètres.

 

Exercice 7-2

Sphère tronquée 01.PNG

Soit une sphère de rayon 10 cm. Soit un plan interceptant la sphère et coupant ainsi la sphère en deux parties de volumes différents. Calculer la distance de ce plan au centre de la sphère de façon à ce que le volume de la partie de la sphère contenant le centre soit le double de la partie de la sphère ne contenant pas le centre.

Solution

Soit d la distance du plan au centre de la sphère de façon à ce que le volume de la partie de la sphère contenant le centre soit le double de la partie de la sphère ne contenant pas le centre.

Mise en équation du problème.

Pour résoudre ce problème, nous allons nous mettre dans un repère. Soit la fonction f définie par :

$f(x)={\sqrt {100-x^{2}}}$.

Le tracé de la courbe correspondant à cette fonction est un demi-cercle de rayon 10, centré sur l'origine du repère. Nous pouvons donc obtenir notre sphère en faisant pivoter cette courbe autour de l'axe des abscisses. La courbe, en pivotant autour de l'axe des abscisses, engendre une sphère d'axe, l'axe des abscisses. Le rayon de cette sphère est 10 et la sphère a pour centre l'origine du repère.

On peut considérer alors que le plan sécant qui nous intéresse est un plan perpendiculaire à l'axe des abscisses et coupant celui-ci au point d'abscisse d.

Pour calculer le volume des deux parties de la sphère séparées par le plan, nous allons considérer que ces volumes sont obtenues en empilant des disques centrés sur l'axe des abscisses et perpendiculaires à celui-ci, ces disques ayant pour rayon f(x). On considérera aussi que l'épaisseur de ces disques est infinitésimale de valeur dx.

Dans ces conditions, le volume de ces disques sera :

$dv=\pi f^{2}(x)dx~$

Pour obtenir les volumes des parties de la sphère qui nous intéresse, il nous suffit donc de sommer les volumes élémentaires précédents.

Le volume de la partie de la sphère contenant le centre sera :

$\int _{-10}^{d}\,\mathrm {d} v=\int _{-10}^{d}\pi f^{2}(x)\,\mathrm {d} x=\int _{-10}^{d}\pi (100-x^{2})\,\mathrm {d} x~$

Le volume de la partie de la sphère ne contenant pas le centre sera :

$\int _{d}^{10}\,\mathrm {d} v=\int _{d}^{10}\pi f^{2}(x)\,\mathrm {d} x=\int _{d}^{10}\pi (100-x^{2})\,\mathrm {d} x$.

Compte tenu des conditions imposées par le problème, nous devons résoudre l'équation d'inconnue d suivante :

$\int _{-10}^{d}\pi (100-x^{2})\,\mathrm {d} x=2\int _{d}^{10}\pi (100-x^{2})\,\mathrm {d} x$.

Nous pouvons commencer par simplifier par π.

$\int _{-10}^{d}(100-x^{2})\,\mathrm {d} x=2\int _{d}^{10}(100-x^{2})\,\mathrm {d} x$.

Une primitive de 100 - x² étant 100x - x³/3, nous en déduisons :

$\left[100x-{\frac {x^{3}}{3}}\right]_{-10}^{d}=2\left[100x-{\frac {x^{3}}{3}}\right]_{d}^{10}$,

qui se développe ainsi :

$100d-{\frac {d^{3}}{3}}+1000-{\frac {1000}{3}}=2\left(1000-{\frac {1000}{3}}-100d+{\frac {d^{3}}{3}}\right)$.

En regroupant les termes semblables dans le premier membre et en multipliant par -3, nous obtenons :

$3d^{3}-900d+2000=0$

et nous voyons clairement apparaître une équation du troisième degré d'inconnue d.

Remarque

On aurait pu, de façon plus élémentaire, se contenter d’utiliser un formulaire donnant la formule d'un segment sphérique (voir, par exemple le Dictionnaire des mathématiques de Bouvier et George). Nous avons supposé que tout le monde n'avait pas nécessairement un tel formulaire sous la main. Pour les personnes disposant d'un tel formulaire, nous conseillons de vérifier que l’on obtient bien la même équation du troisième degré. Pour les personnes n'ayant ni formulaire ni compris le calcul ci-dessus, nous ne pouvons que vous encourager à persévérer dans l'étude du calcul intégral (ce n’est pas si compliqué).

Résolution de l'équation.

Nous utiliserons simplement les formules de Cardan.

L'équation :

$3d^{3}-900d+2000=0$

peut s'écrire :

$d^{3}-300d+{\frac {2000}{3}}=0$

qui est de la forme :

$x^{3}+px+q=0$

avec :

$p=-300$ ;

$q={\frac {2000}{3}}$.

On a alors :

$\Delta =q^{2}+{\frac {4p^{3}}{27}}=\left({\frac {2000}{3}}\right)^{2}+{\frac {4(-300)^{3}}{27}}=-{\frac {32000000}{9}}$.

Il s'ensuit que les solutions de l'équation sont :

$x_{1}={\sqrt[{3}]{\frac {-q+i{\sqrt {-\Delta }}}{2}}}+{\sqrt[{3}]{\frac {-q-i{\sqrt {-\Delta }}}{2}}}=10{\sqrt[{3}]{\frac {-1+2i{\sqrt {2}}}{3}}}+10{\sqrt[{3}]{\frac {-1-2i{\sqrt {2}}}{3}}}\approx 16{,}08$ ;

$x_{2}=j.{\sqrt[{3}]{\frac {-q+i{\sqrt {-\Delta }}}{2}}}+j^{2}.{\sqrt[{3}]{\frac {-q-i{\sqrt {-\Delta }}}{2}}}=10j.{\sqrt[{3}]{\frac {-1+2i{\sqrt {2}}}{3}}}+10j^{2}.{\sqrt[{3}]{\frac {-1-2i{\sqrt {2}}}{3}}}\approx -18{,}34$ ;

$x_{3}=j^{2}.{\sqrt[{3}]{\frac {-q+i{\sqrt {-\Delta }}}{2}}}+j.{\sqrt[{3}]{\frac {-q-i{\sqrt {-\Delta }}}{2}}}=10j^{2}.{\sqrt[{3}]{\frac {-1+2i{\sqrt {2}}}{3}}}+10j.{\sqrt[{3}]{\frac {-1-2i{\sqrt {2}}}{3}}}\approx 2{,}26$.

Nous obtenons trois valeurs possibles pour d, ce qui paraît un peu étrange. Toutefois, nous remarquons que deux de ces valeurs ne sont physiquement pas réalistes !

• La première 16,08 cm est plus grande que le rayon de la sphère. Ce qui signifierait que le plan n'intercepterait pas la sphère. Nous devons donc rejeter cette valeur.
• La deuxième −18,34 cm est négative. Ce qui n'a pas de signification pour une distance.
• La troisième 2,26 cm est réaliste et nous pouvons l'accepter.

Nous conclurons donc en disant que, si le plan intercepte la sphère de façon que sa distance au centre soit d'environs 2,26 cm, alors le volume de la partie contenant le centre est le double de la partie ne contenant pas le centre.

 

Exercice 7-3

Un iceberg dont la forme peut être considérée comme parfaitement sphérique culmine à une hauteur h = 10,0 m au-dessus du niveau de la mer.

Calculer le rayon R de cet iceberg sachant que la masse volumique de l'eau de mer en cet endroit est de 1 030 kilogrammes par mètre cube et que la masse volumique de la glace constituant l'iceberg est de 910 kilogrammes par mètre cube.

Solution

Soit r le rayon de l'iceberg (R sur la figure).

Mise en équation du problème.

Selon le principe d'Archimède, le poids de l'iceberg est égal au poids de l'eau de mer déplacée par l'iceberg.

Le poids de l'iceberg est :

$p=\rho .v.g=\rho .{\frac {4}{3}}\pi r^{3}g=910{\frac {4}{3}}\pi r^{3}g$.

En s'inspirant de l'exercice 9-2 pour calculer le volume immergé, la poussée d'Archimède est :

$p=\rho .v.g=\rho .\int _{-r}^{r-10}\pi (r^{2}-x^{2})\,\mathrm {d} x.g=\rho .\pi .\left[r^{2}.x-{\frac {x^{3}}{3}}\right]_{-r}^{r-10}.g$,

c'est-à-dire :

$p=\rho .v.g=\rho .\pi \left(r^{2}(r-10)-{\frac {(r-10)^{3}}{3}}+r^{3}-{\frac {r^{3}}{3}}\right)g=1030\times \pi \left({\frac {4r^{3}}{3}}-100r-{\frac {1000}{3}}\right)g$.

En égalant la poussée d'Archimède et le poids de l'iceberg, on obtient :

$1030\times \pi \left({\frac {4r^{3}}{3}}-100r-{\frac {1000}{3}}\right)g=910{\frac {4}{3}}\pi r^{3}g$.

Après simplification par π et par g et en mettant dans le premier membre, on obtient :

$12r^{3}-7725r+25750=0$.

Résolution de l'équation.

En divisant tous les termes par 12, nous obtenons :

$r^{3}-{\frac {2575}{4}}z+{\frac {12875}{6}}=0$.

Nous avons une équation de la forme :

$r^{3}+pz+q=0$

avec :

$p=-{\frac {2575}{4}},\qquad q={\frac {12875}{6}}$.

Nous pouvons utiliser la méthode trigonométrique en cosinus. Nous poserons :

$r={\sqrt {-{\frac {4p}{3}}}}cos{\theta }={\frac {5cos\theta {\sqrt {309}}}{3}}$.

On obtient :

$4cos^{3}\theta {\sqrt {309}}-3cos\theta {\sqrt {309}}+6=0$,

qui s'écrit :

$4cos^{3}\theta -3cos\theta =-{\frac {6}{\sqrt {309}}}$

soit, en linéarisant le premier membre :

$cos3\theta =-{\frac {6}{\sqrt {309}}}$.

Nous en déduisons :

${\begin{cases}3\theta =\arccos \left(-{\frac {6}{\sqrt {309}}}\right)+2k\pi \\avec\qquad \qquad \qquad \qquad k\in \mathbb {Z} \\3\theta =-\arccos \left(-{\frac {6}{\sqrt {309}}}\right)+2k\pi \end{cases}}$

que l’on peut écrire :

${\begin{cases}\theta ={\frac {1}{3}}\arccos \left(-{\frac {6}{\sqrt {309}}}\right)+{\frac {2k}{3}}\pi \\avec\qquad \qquad \qquad \qquad k\in \mathbb {Z} \\\theta =-{\frac {1}{3}}\arccos \left(-{\frac {6}{\sqrt {309}}}\right)+{\frac {2k}{3}}\pi \end{cases}}$

En reportant dans :

$r={\frac {5\cos \theta {\sqrt {309}}}{3}}$,

il nous reste les trois valeurs distinctes :

${\begin{cases}r_{1}={\frac {5{\sqrt {309}}}{3}}\cos \left({\frac {1}{3}}\arccos \left(-{\frac {6}{\sqrt {309}}}\right)\right)\approx 23{,}5\\r_{2}={\frac {5{\sqrt {309}}}{3}}\cos \left({\frac {1}{3}}\arccos \left(-{\frac {6}{\sqrt {309}}}\right)+{\frac {2}{3}}\pi \right)\approx -26{,}9\\r_{3}={\frac {5{\sqrt {309}}}{3}}\cos \left({\frac {1}{3}}\arccos \left(-{\frac {6}{\sqrt {309}}}\right)+{\frac {4}{3}}\pi \right)\approx 3{,}4\end{cases}}$

• La valeur de r₁ est réaliste.
• La valeur de r₂ est négative donc irréaliste pour un rayon.
• La valeur de r₃ est inférieure à 5. L'iceberg ne pourrait pas culminer à 10,0 m au-dessus du niveau de la mer.

Nous conclurons donc que le rayon de l'iceberg est d'environ 23,5 m.

 

Exercice 7-4

Dans ce problème, on considérera que la force d'attraction de deux aimants est inversement proportionnelle au cube de leur distance.

On considère deux aimants qui, dans leur position initiale, sont distants de 5 centimètres et soumis à une force d'attraction F.

• Première question : Lorsque l’on diminue la distance de ces deux aimants de 1 centimètre, la force d'attraction augmente d'une valeur f. De combien faut-il éloigner les deux aimants à partir de leur position initiale pour que la force d'attraction diminue de la valeur f ?
• Deuxième question: Si, à partir de la position initiale, on diminue leur distance d'une certaine valeur d, la force d'attraction est multipliée par trois. Par contre, si l'on augmente la distance de la même valeur d, la force d'attraction diminue de 1 newton. En déduire la force initiale F.

Solution

Première question :

Soit x la distance de laquelle il faut éloigner les deux aimants pour que la force d'attraction diminue de f.

Les forces d'attraction étant inversement proportionnelles aux cubes des distances des deux aimants, l'énoncé se traduira par :

$(5-1)^{3}\times (F+f)=5^{3}\times F=(5+x)^{3}\times (F-f)$.

De la première égalité, on obtient :

$64(F+f)=125F$,

c'est-à-dire :

$64f=61F$.

En multipliant tous les termes de la deuxième égalité par 64, on obtient :

$8000F=(5+x)^{3}\times (64F-64f)$

soit :

$8000F=(5+x)^{3}\times (64F-61F)$,

qui nous donne, en simplifiant par F :

$8000=3(5+x)^{3}$.

Nous avons obtenu une équation du troisième degré en x. Pour la résoudre, prenons la racine cubique des deux membres. On obtient :

$20=(5+x){\sqrt[{3}]{3}}$,

ce qui nous donne :

$x={\frac {20}{\sqrt[{3}]{3}}}-5\approx 8{,}867\quad cm$.

Deuxième question:

Les forces d'attraction étant inversement proportionnelles aux cubes des distances des deux aimants, l'énoncé se traduit par :

$(5-d)^{3}\times 3F=5^{3}\times F=(5+d)^{3}\times (F-1)$.

Les deux égalités peuvent s'écrire :

${\begin{cases}125=3(5-d)^{3}\\F={\frac {(5+d)^{3}}{(5+d)^{3}-125}}.\end{cases}}$

Nous voyons que nous devons d’abord trouver d pour en déduire F.

La première équation est une équation du troisième degré en d. Nous pouvons la résoudre en prenant la racine cubique des deux membres. On obtient :

$5=(5-d){\sqrt[{3}]{3}}$.

Nous en déduisons :

$d=5-{\frac {5}{\sqrt[{3}]{3}}}$.

Portons cette valeur dans la deuxième équation :

$F={\frac {(5+5-{\frac {5}{\sqrt[{3}]{3}}})^{3}}{(5+5-{\frac {5}{\sqrt[{3}]{3}}})^{3}-125}}\approx 1{,}8\quad newtons$.

 

Exercice 7-5

Cercle inscrit et cercle circonscrit à un triangle.

Un triangle a un périmètre de 16 cm. Le rayon de son cercle circonscrit est de 4 cm et le rayon de son cercle inscrit est de 1 cm.

Calculer la longueur de ses trois côtés (on exprimera cette longueur au dixième de millimètre près).

Solution

Soit un triangle de sommet A, B, C.

On pose :

• $BC=a$ ;
• $AC=b$ ;
• $AB=c$.

Pour fixer les idées, nous supposerons que le nombre a est la mesure du plus petit côté et que le nombre c est la mesure du plus grand côté.

$a<b<c$.

Nous poserons aussi :

• I, le centre du cercle inscrit de rayon r = 1 ;
• O, le centre du cercle circonscrit de rayon R = 4.

Mise en équation du problème.

L'énoncé nous informe que le périmètre est de 16 cm. Nous en déduisons, de façon immédiate, une première condition :

$a+b+c=16\qquad (*)$.

Si I est le centre du cercle inscrit dans le triangle et si r = 1 est son rayon, nous voyons alors que la somme des aires des triangles BCI, CAI et ABI est égale à l'aire du triangle ABC.

L'aire du triangle BCI est :

${\frac {ar}{2}}={\frac {a}{2}}$.

L'aire du triangle CAI est :

${\frac {br}{2}}={\frac {b}{2}}$.

L'aire du triangle ABI est :

${\frac {cr}{2}}={\frac {c}{2}}$.

L'aire du triangle ABC est :

${\frac {abc}{4R}}={\frac {abc}{16}}$.

Nous obtenons donc :

${\frac {abc}{16}}={\frac {a}{2}}+{\frac {b}{2}}+{\frac {c}{2}}$,

c'est-à-dire :

$abc=8(a+b+c)$

et comme nous avons vu précédemment que la somme a + b + c = 16, nous obtenons une seconde condition :

$abc=128\qquad (**)$.

Soit A' le point diamétralement opposé à A dans le cercle circonscrit. Le triangle ABA' est alors rectangle en B car il est inscrit dans un demi-cercle. Par conséquent :

$\sin {\widehat {A'}}={\frac {c}{2R}}$.

Nous remarquons aussi que, dans le cercle circonscrit, les angles ${\widehat {A'}}$ et ${\widehat {C}}$ interceptent le même arc. Donc :

${\widehat {A'}}={\widehat {C}}$.

On obtient alors :

$\sin {\widehat {C}}={\frac {c}{2R}}={\frac {c}{8}}$.

D'après le théorème d'Al-Kashi, on a :

$\cos {\widehat {C}}={\frac {a^{2}+b^{2}-c^{2}}{2ab}}$,

Par conséquent :

${\frac {c}{8}}=\sin {\widehat {C}}={\sqrt {1-\cos ^{2}{\widehat {C}}}}={\sqrt {1-{\frac {(a^{2}+b^{2}-c^{2})^{2}}{4a^{2}b^{2}}}}}={\sqrt {\frac {4a^{2}b^{2}-(a^{2}+b^{2}-c^{2})^{2}}{4a^{2}b^{2}}}}$,

c'est-à-dire :

${\frac {c}{8}}={\frac {\sqrt {4a^{2}b^{2}-(a^{2}+b^{2}-c^{2})^{2}}}{2ab}}$.

En faisant le produit en croix, on obtient :

$abc=4{\sqrt {4a^{2}b^{2}-(a^{2}+b^{2}-c^{2})^{2}}}$.

D'après (**), on sait que le produit abc = 128. La relation précédente se simplifie ainsi :

$32={\sqrt {4a^{2}b^{2}-(a^{2}+b^{2}-c^{2})^{2}}}$.

On peut aussi élever les deux membres au carré :

$1024=4a^{2}b^{2}-(a^{2}+b^{2}-c^{2})^{2}$.

Nous remarquons, au deuxième membre, une différence de carrés. Donc d’après une célèbre identité remarquable, on obtient :

$1024=(2ab+a^{2}+b^{2}-c^{2})(2ab-a^{2}-b^{2}+c^{2})$.

En observant bien, on voit apparaître d'autres identités remarquables bien connues entre parenthèses :

$1024=\left((a+b)^{2}-c^{2}\right)\left(c^{2}-(a-b)^{2}\right)$

et nous voyons à nouveau des différences de carrés dans les parenthèses ; on obtient donc :

$1024=(a+b+c)(a+b-c)(c+a-b)(c-a+b)$.

D'après (*), nous savons que la somme a + b + c = 16. Nous pouvons donc simplifier :

$1024=16(16-2c)(16-2b)(16-2a)$.

On peut factoriser par 2 les parenthèses :

$1024=16\times 2(8-c)2(8-b)2(8-a)$

$1024=16\times 8(8-c)(8-b)(8-a)$

et enfin :

$(8-a)(8-b)(8-c)=8$.

Ce n’est pas fini ! Développons le premier membre :

$512-64a-64b-64c+8ab+8ac+8bc-abc=8$,

qui se refactorise sous la forme :

$512-64(a+b+c)+8(ab+ac+bc)-abc=8$.

D'après (*) et (**), on a toujours a + b + c = 16 et abc = 128. Donc :

$512-64\times 16+8(ab+ac+bc)-128=8$.

En isolant ab + ac + bc dans le premier membre, on obtient finalement la troisième condition :

$ab+ac+bc=81\qquad (***)$.

En regroupant les trois conditions (*), (**) et (***), nous obtenons :

$\left\{{\begin{matrix}a+b+c=16\\ab+ac+bc=81\\abc=128\end{matrix}}\right.$

ce qui nous montre que les nombres a, b, c sont les trois racines de l'équation :

$x^{3}-16x^{2}+81x-128=0$.

(Ouf ! on y est arrivé. C'était bien un problème du troisième degré !)

Résolution de l'équation.

Nous utiliserons simplement les formules de Cardan.

Commençons par nous débarrasser du terme de degré 2 en posant :

$x=z+{\frac {16}{3}}~$

On obtient après simplification :

$z^{3}-{\frac {13}{3}}z+{\frac {16}{27}}=0~$

Nous obtenons une équation de la forme :

$z^{3}+pz+q=0~$

avec :

$p=-{\frac {13}{3}}~$

$q={\frac {16}{27}}~$

On a alors :

$\Delta =q^{2}+{\frac {4p^{3}}{27}}=\left({\frac {16}{27}}\right)^{2}+{\frac {4(-{\frac {13}{3}})^{3}}{27}}=-{\frac {316}{27}}~$

Il s'ensuit que les solutions de l'équation d'inconnue z sont :

$z_{1}={\sqrt[{3}]{\frac {-q+i{\sqrt {-\Delta }}}{2}}}+{\sqrt[{3}]{\frac {-q-i{\sqrt {-\Delta }}}{2}}}={\sqrt[{3}]{\frac {-8+3i{\sqrt {237}}}{27}}}+{\sqrt[{3}]{\frac {-8-3i{\sqrt {237}}}{27}}}\approx 2{,}0096~$

$z_{2}=j.{\sqrt[{3}]{\frac {-q+i{\sqrt {-\Delta }}}{2}}}+j^{2}.{\sqrt[{3}]{\frac {-q-i{\sqrt {-\Delta }}}{2}}}=j.{\sqrt[{3}]{\frac {-8+3i{\sqrt {237}}}{27}}}+j^{2}.{\sqrt[{3}]{\frac {-8-3i{\sqrt {237}}}{27}}}\approx -2{,}147~$

$z_{3}=j^{2}.{\sqrt[{3}]{\frac {-q+i{\sqrt {-\Delta }}}{2}}}+j.{\sqrt[{3}]{\frac {-q-i{\sqrt {-\Delta }}}{2}}}=j^{2}.{\sqrt[{3}]{\frac {-8+3i{\sqrt {237}}}{27}}}+j.{\sqrt[{3}]{\frac {-8-3i{\sqrt {237}}}{27}}}\approx 0{,}137~$

En reportant dans :

$x=z+{\frac {16}{3}}$,

nous obtenons :

• $x_{1}\approx 7{,}34$ ;
• $x_{2}\approx 3{,}19$ ;
• $x_{3}\approx 5{,}47$.

Ces trois valeurs sont physiquement réalistes. Nous conclurons donc que les mesures des trois côtés du triangle sont données par :

${\begin{cases}a\approx 3{,}19\quad cm\\b\approx 5{,}47\quad cm\\c\approx 7{,}34\quad cm.\end{cases}}$

 

Exercice 7-6

Une certaine quantité d'eau est mise dans un premier récipient cylindrique.

Cette eau est ensuite transvasée dans un deuxième récipient cylindrique dont le rayon de la base mesure un centimètre de moins que le rayon du premier récipient. On constate alors que le niveau de l'eau dans le second récipient arrive à une hauteur supérieure de quatre centimètres à la hauteur qu'elle avait dans le premier récipient.

On transvase ensuite à nouveau l'eau dans un troisième récipient dont le rayon de la base mesure un centimètre de plus que le rayon du premier récipient. On constate cette fois que le niveau de l'eau dans le troisième récipient atteint à une hauteur inférieure de trois centimètres à la hauteur qu'elle avait dans le premier récipient.

Calculer le rayon de la base du premier récipient.

Solution

Soit x le rayon de la base du premier récipient et soit h la hauteur atteinte par l'eau dans le premier récipient.

Mise en équation du problème.

Nous écrirons simplement que, lors du transvasement, le volume d'eau dans les trois récipient sera le même. On obtient :

$\pi x^{2}h=\pi (x-1)^{2}(h+4)=\pi (x+1)^{2}(h-3)~$

Que l’on peut écrire :

${\begin{cases}x^{2}h=(x-1)^{2}(h+4)\\x^{2}h=(x+1)^{2}(h-3)\end{cases}}$

Qui devient :

${\begin{cases}h[x^{2}-(x-1)^{2}]=4(x-1)^{2}\\3(x+1)^{2}=h[(x+1)^{2}-x^{2}]\end{cases}}$

Développons :

${\begin{cases}h(2x-1)=4(x^{2}-2x+1)\\3(x^{2}+2x+1)=h(2x+1)\end{cases}}$

En faisant le produit membre à membre, nous voyons que les h se simplifient, il reste :

$3(2x-1)(x^{2}+2x+1)=4(2x+1)(x^{2}-2x+1)$.

En développant et en mettant tous les termes dans le premier membre, il reste :

$2x^{3}-21x^{2}+7=0$.

Résolution de l'équation.

Pour changer un peu, nous utiliserons la méthode trigonométrique en tangente.

L'équation :

$2x^{3}-21x^{2}+7=0$

est une équation de la forme :

$ax^{3}+bx^{2}+cx+d=0$

avec :

$a=2,\qquad b=-21,\qquad c=0,\qquad d=7$.

Nous commencerons par faire le changement de variable :

$x=z-{\frac {bc-9ad}{2(b^{2}-3ac)}}=z+{\frac {1}{7}}$.

On obtient :

$686z^{3}-6909z^{2}-2016z+2256=0$,

qui est une équation de la forme :

$rz^{3}+sz^{2}+pz+q=0$

avec :

$r=686,\qquad s=-6909,\qquad p=-2016,\qquad q=2256$.

On peut vérifier que l’on a bien sp - 9rq = 0.

Posons ensuite :

$z={\sqrt {-{\frac {p}{3r}}}}\tan \theta ={\sqrt {-{\frac {-2016}{3\times 686}}}}\tan \theta ={\sqrt {\frac {48}{49}}}\tan \theta ={\frac {4{\sqrt {3}}}{7}}\tan \theta$.

On obtient :

$8\tan ^{3}\theta {\sqrt {3}}-141\tan ^{2}\theta -24\tan \theta {\sqrt {3}}+47=0$,

que l’on peut écrire :

$8{\sqrt {3}}(\tan ^{3}\theta -3\tan \theta )=47(3\tan ^{2}\theta -1)$,

que l’on peut mettre sous la forme :

${\frac {\tan ^{3}\theta -3\tan \theta }{3\tan ^{2}\theta -1}}={\frac {47}{8{\sqrt {3}}}}$,

qui se simplifie sous la forme :

$\tan(3\theta )={\frac {47}{8{\sqrt {3}}}}$.

Nous en déduisons :

$3\theta =\arctan({\frac {47}{8{\sqrt {3}}}})+k\pi \qquad \qquad k\in \mathbb {Z}$,

que l’on peut écrire :

$\theta ={\frac {1}{3}}\arctan({\frac {47}{8{\sqrt {3}}}})+{\frac {k\pi }{3}}\qquad \qquad k\in \mathbb {Z}$.

La représentation de l’ensemble de ces valeurs sur le cercle trigonométrique montre que l’on peut se limiter à :

$\theta \in \left\{{\frac {1}{3}}\arctan({\frac {47}{8{\sqrt {3}}}}),{\frac {1}{3}}\arctan({\frac {47}{8{\sqrt {3}}}})+{\frac {\pi }{3}},{\frac {1}{3}}\arctan({\frac {47}{8{\sqrt {3}}}})+{\frac {2\pi }{3}}\right\}$.

En reportant dans :

$z={\frac {4{\sqrt {3}}}{7}}\tan \theta$,

nous obtenons les trois valeurs :

${\begin{cases}z_{1}={\frac {4{\sqrt {3}}}{7}}\tan \left({\frac {1}{3}}\arctan({\frac {47}{8{\sqrt {3}}}})\right)\\z_{2}={\frac {4{\sqrt {3}}}{7}}\tan \left({\frac {1}{3}}\arctan({\frac {47}{8{\sqrt {3}}}})+{\frac {\pi }{3}}\right)\\z_{3}={\frac {4{\sqrt {3}}}{7}}\tan \left({\frac {1}{3}}\arctan({\frac {47}{8{\sqrt {3}}}})+{\frac {2\pi }{3}}\right).\end{cases}}$

En reportant finalement ces valeurs dans :

$x=z+{\frac {1}{7}}$,

on obtient :

${\begin{cases}x_{1}={\frac {4{\sqrt {3}}}{7}}\tan \left({\frac {1}{3}}\arctan({\frac {47}{8{\sqrt {3}}}})\right)+{\frac {1}{7}}\\x_{2}={\frac {4{\sqrt {3}}}{7}}\tan \left({\frac {1}{3}}\arctan({\frac {47}{8{\sqrt {3}}}})+{\frac {\pi }{3}}\right)+{\frac {1}{7}}\\x_{3}={\frac {4{\sqrt {3}}}{7}}\tan \left({\frac {1}{3}}\arctan({\frac {47}{8{\sqrt {3}}}})+{\frac {2\pi }{3}}\right)+{\frac {1}{7}}.\end{cases}}$

En calculant des valeurs approchées, on obtient :

${\begin{cases}x_{1}\approx 0{,}5944\\x_{2}\approx 10{,}468\\x_{3}\approx -0{,}5625.\end{cases}}$

Nous voyons que seule la valeur 10,468 est réaliste. Si le premier récipient avait un rayon de 0,5944 cm, le deuxième récipient aurait un rayon négatif, ce qui est absurde.

Nous conclurons donc en disant que le rayon du premier récipient est d'environ 10,5 cm.