Équation du troisième degré/Exercices/Sur la résolution trigonométrique
Exercice 6-1
modifierSoit une suite arithmétique (un)n à termes positifs de premier terme u0 et de raison 1. Sachant qu'elle contient trois termes consécutifs de produit 1/3, en déduire u0.
Soit z le terme médian des trois termes consécutifs de produit 1/3. Les trois termes consécutifs en question seront donc :
- .
Le produit de ces trois nombres étant 1/3, nous sommes ramenés à résoudre l'équation :
En développant et en regroupant dans le premier membre, nous obtenons :
- .
Nous avons alors avec les notations de cours :
- .
Nous ferons donc le changement de variable suivant :
- .
Nous obtenons :
- ,
qui se simplifie en :
- .
La linéarisation du premier membre donne :
- .
Nous en déduisons :
avec
- ,
soit
qui sont les trois racines de l'équation à résoudre.
Comme l'énoncé nous précisait que les termes recherchés de la suite doivent être positifs, nous voyons que la seule possibilité pour les trois termes consécutifs de produit 1/3 est :
(on peut vérifier que le produit de ces trois termes est bien 1/3).
Comme le premier de ces trois termes est compris entre 0 et 1, le précédent serait négatif, ce qui n’est pas possible. On peut en déduire que le premier des trois termes trouvés est u0. On a donc :
- .
Exercice 6-2
modifierRésoudre l'équation :
- .
L'équation peut s'écrire :
avec :
- .
Nous ferons donc le changement de variable suivant :
- .
L'équation de départ devient alors :
- ,
qui se simplifie en :
- ,
qui s'écrit aussi :
- .
Nous en déduisons :
avec
- ,
soit :
Exercice 6-3
modifierRésoudre, dans l’ensemble des nombres réels, l'équation :
- .
L'équation peut s'écrire :
avec :
- .
est négatif et Δ < 0.
Nous ferons donc le changement de variable suivant :
- .
Nous obtenons :
- ,
qui se simplifie en :
- .
La linéarisation du premier membre donne :
- .
On en déduit :
- ,
qui s'écrit aussi :
- ,
soit :
- .
En reportant dans :
- ,
on obtient la solution réelle de l'équation à résoudre :
(Cette méthode, étendue à la trigonométrie complexe, donne aussi les deux solutions non réelles :
- et son conjugué.)
Exercice 6-4
modifierRésoudre, dans l’ensemble des nombres réels, l'équation :
- .
L'équation peut s'écrire :
avec :
- .
est positif et Δ < 0.
Nous ferons donc le changement de variable suivant :
- .
Nous obtenons :
- ,
qui se simplifie en :
- .
La linéarisation du premier membre donne :
- .
On en déduit :
- ,
qui s'écrit aussi :
- ,
soit :
- .
En reportant dans :
- ,
on obtient :
- ,
qui est la solution réelle de l'équation à résoudre.
(Cette méthode, étendue à la trigonométrie complexe, donne aussi les deux solutions non réelles :
- et son conjugué.)
Exercice 6-5
modifierRésoudre l'équation :
- .
Cette équation est de la forme :
avec :
- .
Commençons par faire le changement de variable :
- .
On obtient :
- ,
qui est une équation de la forme :
avec :
- .
On peut vérifier que l’on a bien .
Posons ensuite :
- .
On obtient :
- ,
que l’on peut écrire :
- ,
que l’on peut mettre sous la forme :
- ,
qui se simplifie en :
- ,
qui peut encore s'écrire :
- .
Nous en déduisons :
avec
- ,
soit :
En reportant finalement ces valeurs dans :
- ,
on obtient les trois racines de l'équation que l’on devait résoudre :
Exercice 6-6
modifierRésoudre l'équation :
- .
Cette équation est de la forme :
avec :
- .
Nous commencerons par faire le changement de variable :
- .
On obtient :
- ,
qui est une équation de la forme :
avec :
- .
On peut vérifier que l’on a bien .
Posons ensuite :
- .
On obtient :
- ,
que l’on peut écrire :
- ,
que l’on peut mettre sous la forme :
- ,
qui se simplifie en :
- .
Nous en déduisons :
- ,
que nous pouvons écrire sous la forme :
- ,
qui se simplifie en :
- .
En reportant dans :
- ,
on obtient :
- .
Il ne nous reste plus qu'à reporter dans :
- .
On obtient :
- ,
qui est la racine réelle de l'équation que l’on devait résoudre.
En utilisant la trigonométrie complexe, on trouve de même les deux autres racines :
- et son conjugué.
Mais, bien plus rapidement et moins savamment : il saute aux yeux que l'équation se met sous la forme
donc équivaut à
- ,
soit
- .
Exercice 6-7
modifierRésoudre l'équation :
- .
L'inconnue est .
est un paramètre strictement positif et différent de 1.
est un paramètre strictement positif.
L'équation est de la forme :
avec :
- .
Cette équation vérifie déjà . Il est donc inutile de faire le changement de variable indiqué dans le cours.
De plus, nous avons :
- .
Nous ferons donc le changement de variable :
- .
On obtient :
- .
Comme est strictement positif, on peut simplifier par :
- ,
que l’on peut écrire :
- ,
que l’on peut mettre sous la forme :
- ,
qui se simplifie sous la forme :
- .
Nous en déduisons :
- ,
que nous pouvons écrire sous la forme :
- ,
qui se simplifie sous la forme :
- .
En reportant dans :
- ,
on obtient :
- ,
qui est la racine réelle de l'équation que l’on devait résoudre.
Remarque : plus simplement, et sans et soient nécessairement positifs ni même réels, l'équation est de la forme
donc ses trois solutions complexes sont :
- .