Équation du troisième degré/Exercices/Simplification des racines

Exercice 5-1

Calculer :

${\sqrt[{3}]{-35+18\mathrm {i} {\sqrt {3}}}}+{\sqrt[{3}]{-35-18\mathrm {i} {\sqrt {3}}}}$.

Solution

Recherchons les trois racines cubiques du nombre :

$w=-35+18\mathrm {i} {\sqrt {3}}$.

On pose :

$a=-35\qquad b=18{\sqrt {3}}$.

On a alors :

$c={\sqrt[{3}]{a^{2}+b^{2}}}={\sqrt[{3}]{(-35)^{2}+(18{\sqrt {3}})^{2}}}=13$.

L'équation :

$4x^{3}-3cx-a=0$

s'écrit alors :

$4x^{3}-39x+35=0$,

qui se factorise sous la forme (1 est racine évidente) :

$(x-1)(2x-5)(2x+7)=0$.

Comme on a besoin d'une seule racine, on choisit $x=1$.

Ensuite :

$y={\frac {b}{4x^{2}-c}}={\frac {18{\sqrt {3}}}{4\times 1^{2}-13}}=-2{\sqrt {3}}$.

Les trois racines de $w$ sont donc :

$r_{1}=1-2\mathrm {i} {\sqrt {3}}$

$r_{2}=\mathrm {j} (1-2\mathrm {i} {\sqrt {3}})=(-{\frac {1}{2}}+{\frac {\mathrm {i} {\sqrt {3}}}{2}})(1-2\mathrm {i} {\sqrt {3}})={\frac {5}{2}}+{\frac {3\mathrm {i} {\sqrt {3}}}{2}}$

$r_{3}=\mathrm {j} ^{2}(1-2\mathrm {i} {\sqrt {3}})=(-{\frac {1}{2}}-{\frac {\mathrm {i} {\sqrt {3}}}{2}})(1-2\mathrm {i} {\sqrt {3}})=-{\frac {7}{2}}+{\frac {\mathrm {i} {\sqrt {3}}}{2}}$.

Nous nous retrouvons avec trois racines. Laquelle choisir ?

En l'absence d'indication particulière, nous convenons généralement de choisir la racine qui est conforme à la formule :

${\sqrt[{3}]{w}}={\sqrt[{3}]{|w|}}\operatorname {e} ^{{\frac {\arg(w)}{3}}\mathrm {i} }$.

Calculons l'argument de $w$ :

$\tan(\arg(w))={\frac {18}{-35}}$

donc :

$\arg(w)=\arctan {\frac {18}{-35}}+\pi \approx 2{,}6666$.

La racine qui nous intéresse devra donc avoir un argument d'environ 2,6666/3 = 0,888. Comme 0,8888 < π/2, ce sera un nombre complexe avec parties réelle et imaginaire positives. Seul r₂ convient. On a donc :

${\sqrt[{3}]{-35+18i{\sqrt {3}}}}={\frac {5}{2}}+{\frac {3\mathrm {i} {\sqrt {3}}}{2}}$.

On trouverait de même que :

${\sqrt[{3}]{-35-18\mathrm {i} {\sqrt {3}}}}={\frac {5}{2}}-{\frac {3\mathrm {i} {\sqrt {3}}}{2}}$.

Par conséquent :

${\sqrt[{3}]{-35+18\mathrm {i} {\sqrt {3}}}}+{\sqrt[{3}]{-35-18\mathrm {i} {\sqrt {3}}}}={\frac {5}{2}}+{\frac {3\mathrm {i} {\sqrt {3}}}{2}}+{\frac {5}{2}}-{\frac {3\mathrm {i} {\sqrt {3}}}{2}}=5$.

 

Exercice 5-2

Par une méthode différente de l'exercice 4-4, montrer que :

${\sqrt[{3}]{\frac {8+3{\sqrt {21}}}{27}}}+{\sqrt[{3}]{\frac {8-3{\sqrt {21}}}{27}}}+{\frac {2}{3}}=1~$

Solution

Cherchons une racine cubique de :

$8+3{\sqrt {21}}$.

Nous utiliserons la méthode d'extraction des racines cubiques d'un nombre quadratique.

Posons a = 8, b = 3, n = 21.

On a alors :

$c={\sqrt[{3}]{a^{2}-nb^{2}}}={\sqrt[{3}]{8^{2}-21\times 3^{2}}}=-5~$

L'équation :

$4x^{3}-3cx-a=0~$

s'écrit alors :

$4x^{3}+15x-8=0$,

qui se factorise sous la forme (1/2 est racine évidente) :

$(2x-1)(2x^{2}+x+8)=0$.

Comme on a besoin d'une seule racine, on choisit x = 1/2.

Ensuite :

$y={\frac {b}{4x^{2}-c}}={\frac {3}{4\times \left({\frac {1}{2}}\right)^{2}+5}}={\frac {1}{2}}$.

Par conséquent :

${\sqrt[{3}]{8+3{\sqrt {21}}}}=x+y{\sqrt {21}}={\frac {1}{2}}+{\frac {\sqrt {21}}{2}}$.

On montrerait de même que :

${\sqrt[{3}]{8-3{\sqrt {21}}}}={\frac {1}{2}}-{\frac {\sqrt {21}}{2}}$.

On a alors :

${\sqrt[{3}]{\frac {8+3{\sqrt {21}}}{27}}}+{\sqrt[{3}]{\frac {8-3{\sqrt {21}}}{27}}}+{\frac {2}{3}}={\frac {\sqrt[{3}]{8+3{\sqrt {21}}}}{3}}+{\frac {\sqrt[{3}]{8-3{\sqrt {21}}}}{3}}+{\frac {2}{3}}={\frac {{\frac {1}{2}}+{\frac {\sqrt {21}}{2}}}{3}}+{\frac {{\frac {1}{2}}-{\frac {\sqrt {21}}{2}}}{3}}+{\frac {2}{3}}=1$.

 

Exercice 5-3

Résoudre l'équation :

$x^{3}-5x^{2}+3x+5=0~$

en présentant les solutions sous une forme ne faisant pas apparaître l'imaginaire pur i.

Solution

Nous avons une équation de la forme :

$ax^{3}+bx^{2}+cx+d=0$

avec :

$a=1,\quad b=-5,\quad c=3,\quad d=5$.

Pour supprimer le monôme de degré 2, nous commençons par faire le changement de variable :

$x=z-{\frac {b}{3a}}=z+{\frac {5}{3}}$.

Nous obtenons :

$(z+{\frac {5}{3}})^{3}-5(z+{\frac {5}{3}})^{2}+3(z+{\frac {5}{3}})+5=0$.

En développant et en réduisant les termes semblables, on obtient :

$z^{3}-{\frac {16}{3}}z+{\frac {20}{27}}=0$.

Nous avons une équation de la forme :

$z^{3}+px+q=0$

avec :

$p=-{\frac {16}{3}},\quad q={\frac {20}{27}}$.

Appliquons simplement les formules du cours :

$x_{1}=2{\sqrt {-{\frac {p}{3}}}}\cos \left({\frac {\arccos \left({\frac {3q}{2p}}{\sqrt {\frac {-3}{p}}}\right)}{3}}\right)-{\frac {b}{3a}}$ ;

$x_{2}=2{\sqrt {-{\frac {p}{3}}}}\cos \left({\frac {\arccos \left({\frac {3q}{2p}}{\sqrt {\frac {-3}{p}}}\right)+2\pi }{3}}\right)-{\frac {b}{3a}}$ ;

$x_{3}=2{\sqrt {-{\frac {p}{3}}}}\cos \left({\frac {arccos\left({\frac {3q}{2p}}{\sqrt {\frac {-3}{p}}}\right)+4\pi }{3}}\right)-{\frac {b}{3a}}$.

On trouve :

$x_{1}={\frac {8}{3}}\cos \left({\frac {\arccos \left(-{\frac {5}{32}}\right)}{3}}\right)+{\frac {5}{3}}$ ; $x_{2}={\frac {8}{3}}\cos \left({\frac {\arccos \left(-{\frac {5}{32}}\right)+2\pi }{3}}\right)+{\frac {5}{3}}$ ; $x_{3}={\frac {8}{3}}\cos \left({\frac {\arccos \left(-{\frac {5}{32}}\right)+4\pi }{3}}\right)+{\frac {5}{3}}$.