Soit à résoudre l'équation :
x
3
−
x
2
−
x
−
2
=
0
{\displaystyle x^{3}-x^{2}-x-2=0~}
modifier
Résolvons l'équation :
x
3
−
x
2
−
x
−
2
=
0
{\displaystyle x^{3}-x^{2}-x-2=0~}
Les racines évidentes possibles sont : 1, -1, 2, -2.
Après essai, nous voyons que l'équation admet la racine évidente
x
1
=
2
{\displaystyle x_{1}=2}
x
−
2
{\displaystyle x-2}
Nous obtenons :
(
x
−
2
)
(
x
2
+
m
x
+
1
)
=
0
{\displaystyle (x-2)(x^{2}+mx+1)=0~}
Cette factorisation a été faite de façon qu'en développant, on retrouve le terme de plus haut degré et le terme constant. Il nous reste à déterminer m. Pour cela on redéveloppe :
x
3
+
(
m
−
2
)
x
2
+
(
1
−
2
m
)
x
−
2
=
0
{\displaystyle x^{3}+(m-2)x^{2}+(1-2m)x-2=0~}
Et l’on identifie avec l'équation initiale. On obtient :
{
m
−
2
=
−
1
1
−
2
m
=
−
1
{\displaystyle {\begin{cases}m-2=-1\\1-2m=-1\end{cases}}}
Dans les deux cas, on voit que
m
=
1
{\displaystyle m=1}
(
x
−
2
)
(
x
2
+
x
+
1
)
=
0
{\displaystyle (x-2)(x^{2}+x+1)=0~}
Il nous reste à résoudre :
x
2
+
x
+
1
=
0
{\displaystyle x^{2}+x+1=0~}
Calculons le discriminant :
Δ
=
1
2
−
4
×
1
×
1
=
−
3
=
(
i
3
)
2
{\displaystyle \Delta =1^{2}-4\times 1\times 1=-3=\left(i{\sqrt {3}}\right)^{2}~}
Les deux racines de la dernière équation du second degré sont donc :
{
x
2
=
−
1
+
i
3
2
x
3
=
−
1
−
i
3
2
{\displaystyle {\begin{cases}x_{2}={\frac {-1+i{\sqrt {3}}}{2}}\\x_{3}={\frac {-1-i{\sqrt {3}}}{2}}\end{cases}}}
Finalement les trois racines de l'équation :
x
3
−
x
2
−
x
−
2
=
0
{\displaystyle x^{3}-x^{2}-x-2=0~}
sont :
{
x
1
=
2
x
2
=
−
1
+
i
3
2
x
3
=
−
1
−
i
3
2
{\displaystyle {\begin{cases}x_{1}=2\\x_{2}={\frac {-1+i{\sqrt {3}}}{2}}\\x_{3}={\frac {-1-i{\sqrt {3}}}{2}}\end{cases}}}
{
x
1
=
2
x
2
=
−
0
,
5
+
0
,
866
i
x
3
=
−
0
,
5
−
0
,
866
i
{\displaystyle {\begin{cases}x_{1}=2\\x_{2}=-0,5+0,866i\\x_{3}=-0,5-0,866i\end{cases}}}
modifier
Nous avons une équation de la forme :
a
x
3
+
b
x
2
+
c
x
+
d
=
0
{\displaystyle ax^{3}+bx^{2}+cx+d=0~}
avec :
a
=
1
b
=
−
1
c
=
−
1
d
=
−
2
{\displaystyle a=1\qquad b=-1\qquad c=-1\qquad d=-2~}
Pour supprimer le monôme de degré deux, nous commencerons par faire le changement de variable :
x
=
z
−
b
3
a
=
z
+
1
3
{\displaystyle x=z-{\frac {b}{3a}}=z+{\frac {1}{3}}~}
Nous obtenons :
(
z
+
1
3
)
3
−
(
z
+
1
3
)
2
−
(
z
+
1
3
)
−
2
=
0
{\displaystyle \left(z+{\frac {1}{3}}\right)^{3}-\left(z+{\frac {1}{3}}\right)^{2}-\left(z+{\frac {1}{3}}\right)-2=0~}
En développant et en réduisant les termes semblables, on obtient :
z
3
−
4
3
z
−
65
27
=
0
{\displaystyle z^{3}-{\frac {4}{3}}z-{\frac {65}{27}}=0~}
Posons :
z
=
u
+
v
{\displaystyle z=u+v~}
On obtient :
(
u
+
v
)
3
−
4
3
(
u
+
v
)
−
65
27
=
0
{\displaystyle (u+v)^{3}-{\frac {4}{3}}(u+v)-{\frac {65}{27}}=0~}
Qui peut s'écrire :
(
u
3
+
v
3
)
+
(
3
u
v
−
4
3
)
(
u
+
v
)
−
65
27
=
0
{\displaystyle \left(u^{3}+v^{3}\right)+\left(3uv-{\frac {4}{3}}\right)\left(u+v\right)-{\frac {65}{27}}=0}
Posons :
u
v
=
4
9
{\displaystyle uv={\frac {4}{9}}~}
On obtient :
{
u
3
+
v
3
=
65
27
u
3
v
3
=
64
729
{\displaystyle \left\{{\begin{matrix}u^{3}+v^{3}={\frac {65}{27}}\\u^{3}v^{3}={\frac {64}{729}}\end{matrix}}\right.}
u3 et v3 sont donc racines de l'équation :
729
X
2
−
1755
X
+
64
=
0
{\displaystyle 729X^{2}-1755X+64=0~}
Qui a pour racine :
{
u
3
=
64
27
v
3
=
1
27
{\displaystyle \left\{{\begin{matrix}u^{3}={\frac {64}{27}}\\v^{3}={\frac {1}{27}}\end{matrix}}\right.}
Tout cela pour dire en fait que
u
{\displaystyle u}
u
=
4
3
ou
u
=
j
⋅
4
3
ou
u
=
j
2
⋅
4
3
{\displaystyle u={\frac {4}{3}}\qquad {\text{ou}}\qquad u=j\cdot {\frac {4}{3}}\qquad {\text{ou}}\qquad u=j^{2}\cdot {\frac {4}{3}}}
où
j
{\displaystyle j}
j
3
=
1
{\displaystyle j^{3}=1}
j
=
e
i
2
π
3
{\displaystyle j=e^{i{\frac {2\pi }{3}}}}
Et v a aussi trois valeurs possibles :
v
=
1
3
ou
v
=
j
⋅
1
3
ou
v
=
j
2
⋅
1
3
{\displaystyle v={\frac {1}{3}}\qquad {\text{ou}}\qquad v=j\cdot {\frac {1}{3}}\qquad {\text{ou}}\qquad v=j^{2}\cdot {\frac {1}{3}}}
Nous devons ensuite en déduire
x
{\displaystyle x}
u
{\displaystyle u}
v
{\displaystyle v}
Comment savoir quelle valeur de
u
{\displaystyle u}
v
{\displaystyle v}
Nous devons choisir une valeur de
u
{\displaystyle u}
v
{\displaystyle v}
u
v
=
4
9
{\displaystyle uv={\frac {4}{9}}~}
Compte tenu du fait que
j
3
=
1
{\displaystyle j^{3}=1}
u
{\displaystyle u}
v
{\displaystyle v}
{
u
=
4
3
v
=
1
3
ou
{
u
=
j
⋅
4
3
v
=
j
2
⋅
1
3
ou
{
u
=
j
2
⋅
4
3
v
=
j
⋅
1
3
{\displaystyle {\begin{cases}u={\frac {4}{3}}\\v={\frac {1}{3}}\end{cases}}\qquad {\text{ou}}\qquad {\begin{cases}u=j\cdot {\frac {4}{3}}\\v=j^{2}\cdot {\frac {1}{3}}\end{cases}}\qquad {\text{ou}}\qquad {\begin{cases}u=j^{2}\cdot {\frac {4}{3}}\\v=j\cdot {\frac {1}{3}}\end{cases}}}
Comme
z
=
u
+
v
{\displaystyle z=u+v}
z
{\displaystyle z}
z
1
=
4
3
+
1
3
=
5
3
{\displaystyle z_{1}={\frac {4}{3}}+{\frac {1}{3}}={\frac {5}{3}}~}
z
2
=
j
⋅
4
3
+
j
2
⋅
1
3
{\displaystyle z_{2}=j\cdot {\frac {4}{3}}+j^{2}\cdot {\frac {1}{3}}~}
z
3
=
j
2
⋅
4
3
+
j
⋅
1
3
{\displaystyle z_{3}=j^{2}\cdot {\frac {4}{3}}+j\cdot {\frac {1}{3}}~}
En reportant les trois valeurs de
z
{\displaystyle z}
x
=
z
+
1
3
{\displaystyle x=z+{\frac {1}{3}}~}
Nous obtenons :
x
1
=
4
3
+
1
3
+
1
3
{\displaystyle x_{1}={\frac {4}{3}}+{\frac {1}{3}}+{\frac {1}{3}}~}
x
2
=
j
⋅
4
3
+
j
2
⋅
1
3
+
1
3
{\displaystyle x_{2}=j\cdot {\frac {4}{3}}+j^{2}\cdot {\frac {1}{3}}+{\frac {1}{3}}~}
x
3
=
j
2
⋅
4
3
+
j
⋅
1
3
+
1
3
{\displaystyle x_{3}=j^{2}\cdot {\frac {4}{3}}+j\cdot {\frac {1}{3}}+{\frac {1}{3}}~}
Nous en déduisons finalement :
x
1
=
2
{\displaystyle x_{1}=2}
x
2
=
−
1
+
i
3
2
{\displaystyle x_{2}={\frac {-1+i{\sqrt {3}}}{2}}}
x
3
=
−
1
−
i
3
2
{\displaystyle x_{3}={\frac {-1-i{\sqrt {3}}}{2}}}
Des valeurs approchées sont :
{
x
1
=
2
x
2
=
−
0
,
5
+
0
,
866
i
x
3
=
−
0
,
5
−
0
,
866
i
{\displaystyle {\begin{cases}x_{1}=2\\x_{2}=-0,5+0,866i\\x_{3}=-0,5-0,866i\end{cases}}}
modifier
Nous devons résoudre l'équation :
x
3
−
x
2
−
x
−
2
=
0
{\displaystyle x^{3}-x^{2}-x-2=0~}
Nous avons une équation de la forme :
a
x
3
+
b
x
2
+
c
x
+
d
=
0
{\displaystyle ax^{3}+bx^{2}+cx+d=0~}
avec :
a
=
1
b
=
−
1
c
=
−
1
d
=
−
2
{\displaystyle a=1\qquad b=-1\qquad c=-1\qquad d=-2~}
Pour supprimer le monôme de degré deux, nous commencerons par faire le changement de variable :
x
=
z
−
b
3
a
=
z
+
1
3
{\displaystyle x=z-{\frac {b}{3a}}=z+{\frac {1}{3}}~}
Nous obtenons :
(
z
+
1
3
)
3
−
(
z
+
1
3
)
2
−
(
z
+
1
3
)
−
2
=
0
{\displaystyle \left(z+{\frac {1}{3}}\right)^{3}-\left(z+{\frac {1}{3}}\right)^{2}-\left(z+{\frac {1}{3}}\right)-2=0~}
En développant et en réduisant les termes semblables, on obtient :
z
3
−
4
3
z
−
65
27
=
0
{\displaystyle z^{3}-{\frac {4}{3}}z-{\frac {65}{27}}=0~}
Nous avons une équation de la forme :
z
3
+
p
z
+
q
=
0
{\displaystyle z^{3}+pz+q=0~}
avec :
p
=
−
4
3
q
=
−
65
27
{\displaystyle p=-{\frac {4}{3}}\qquad q=-{\frac {65}{27}}~}
p
{\displaystyle p}
Nous ferons donc le changement de variable suivant :
z
=
−
4
p
3
cosh
θ
=
4
3
cosh
θ
{\displaystyle z={\sqrt {-{\frac {4p}{3}}}}\cosh {\theta }={\frac {4}{3}}\cosh {\theta }}
Nous obtenons :
64
cosh
3
θ
−
48
cosh
θ
−
65
=
0
{\displaystyle 64\cosh ^{3}{\theta }-48\cosh {\theta }-65=0~}
Qui se simplifie sous la forme :
4
cosh
3
θ
−
3
cosh
θ
=
65
16
{\displaystyle 4\cosh ^{3}\theta -3\cosh \theta ={\frac {65}{16}}}
La linéarisation du premier membre donne :
cosh
(
3
θ
)
=
65
16
{\displaystyle \cosh(3\theta )={\frac {65}{16}}~}
On en déduit :
3
θ
=
arcosh
(
65
16
)
{\displaystyle 3\theta =\operatorname {arcosh} \left({\frac {65}{16}}\right)}
Qui s'écrit aussi :
3
θ
=
ln
(
65
16
+
(
65
16
)
2
−
1
)
{\displaystyle 3\theta =\ln \left({\frac {65}{16}}+{\sqrt {\left({\frac {65}{16}}\right)^{2}-1}}\right)~}
Soit :
θ
=
ln
8
3
{\displaystyle \theta ={\frac {\ln 8}{3}}~}
En reportant dans :
z
=
4
3
cosh
θ
{\displaystyle z={\frac {4}{3}}\cosh {\theta }~}
On obtient :
z
=
4
3
cosh
(
ln
8
3
)
{\displaystyle z={\frac {4}{3}}\cosh \left({\frac {\ln 8}{3}}\right)}
En revenant à la définition de ch, on obtient :
z
=
4
3
e
ln
8
3
+
e
−
ln
8
3
2
{\displaystyle z={\frac {4}{3}}{\frac {e^{\frac {\ln 8}{3}}+e^{-{\frac {\ln 8}{3}}}}{2}}~}
z
=
2
3
(
2
+
1
2
)
{\displaystyle z={\frac {2}{3}}\left(2+{\frac {1}{2}}\right)~}
On trouve :
z
=
5
3
{\displaystyle z={\frac {5}{3}}~}
En reportant dans :
x
=
z
+
1
3
{\displaystyle x=z+{\frac {1}{3}}~}
On trouve :
x
=
2
{\displaystyle x=2~}
modifier
Nous devons résoudre l'équation :
x
3
−
x
2
−
x
−
2
=
0
{\displaystyle x^{3}-x^{2}-x-2=0~}
Selon nos notations, nous avons :
a
=
1
b
=
−
1
c
=
−
1
d
=
−
2
{\displaystyle a=1\qquad b=-1\qquad c=-1\qquad d=-2~}
Nous poserons :
x
=
z
−
b
c
−
9
a
d
2
(
b
2
−
3
a
c
)
=
z
−
19
8
{\displaystyle x=z-{\frac {bc-9ad}{2(b^{2}-3ac)}}=z-{\frac {19}{8}}~}
Ce qui nous donne :
512
z
3
−
4160
z
2
+
10584
z
−
9555
=
0
{\displaystyle 512z^{3}-4160z^{2}+10584z-9555=0~}
Nous obtenons alors une équation de la forme :
r
z
3
+
s
z
2
+
p
z
+
q
=
0
{\displaystyle rz^{3}+sz^{2}+pz+q=0~}
Avec :
r
=
512
s
=
−
4160
p
=
10584
q
=
−
9555
{\displaystyle r=512\qquad s=-4160\qquad p=10584\qquad q=-9555~}
Nous constatons que r et p sont de même signe. De plus nous avons :
p
2
−
3
s
q
=
−
7225344
<
0
{\displaystyle p^{2}-3sq=-7225344<0~}
Nous ferons donc le changement de variable :
z
=
p
3
r
coth
θ
=
21
8
coth
θ
{\displaystyle z={\sqrt {\frac {p}{3r}}}\coth \theta ={\frac {21}{8}}\coth \theta }
On obtient :
9261
coth
3
θ
−
28665
coth
2
θ
+
27783
coth
θ
−
9555
=
0
{\displaystyle 9261\coth ^{3}\theta -28665\coth ^{2}\theta +27783\coth \theta -9555=0}
Qui peut s'écrire :
9261
(
coth
3
θ
+
3
coth
θ
)
=
9555
(
3
coth
2
θ
+
1
)
{\displaystyle 9261(\coth ^{3}\theta +3\coth \theta )=9555(3\coth ^{2}\theta +1)}
Que l’on peut mettre sous la forme :
coth
3
θ
+
3
coth
θ
3
coth
2
θ
+
1
=
65
63
{\displaystyle {\frac {\coth ^{3}\theta +3\coth \theta }{3\coth ^{2}\theta +1}}={\frac {65}{63}}~}
Qui se simplifie sous la forme :
coth
(
3
θ
)
=
65
63
{\displaystyle \coth(3\theta )={\frac {65}{63}}}
Nous en déduisons :
3
θ
=
arcoth
(
65
63
)
{\displaystyle 3\theta =\operatorname {arcoth} \left({\frac {65}{63}}\right)~}
Que nous pouvons écrire sous la forme :
3
θ
=
1
2
ln
(
65
63
+
1
65
63
−
1
)
{\displaystyle 3\theta ={\frac {1}{2}}\ln \left({\frac {{\frac {65}{63}}+1}{{\frac {65}{63}}-1}}\right)~}
Qui se simplifie sous la forme :
θ
=
ln
64
6
=
ln
2
6
6
=
6
ln
2
6
=
ln
2
{\displaystyle \theta ={\frac {\ln 64}{6}}={\frac {\ln 2^{6}}{6}}={\frac {6\ln 2}{6}}=\ln 2~}
En reportant dans :
z
=
21
8
⋅
coth
θ
{\displaystyle z={\frac {21}{8}}\cdot \coth \theta }
On obtient :
z
=
21
8
⋅
coth
(
ln
2
)
{\displaystyle z={\frac {21}{8}}\cdot \coth(\ln 2)}
En revenant à la définition de coth, on obtient :
z
=
21
8
⋅
e
ln
2
+
e
−
ln
2
e
ln
2
−
e
−
ln
2
{\displaystyle z={\frac {21}{8}}\cdot {\frac {e^{\ln 2}+e^{-\ln 2}}{e^{\ln 2}-e^{-\ln 2}}}~}
Qui s'écrit :
z
=
21
8
⋅
2
+
1
2
2
−
1
2
{\displaystyle z={\frac {21}{8}}\cdot {\frac {2+{\frac {1}{2}}}{2-{\frac {1}{2}}}}~}
En simplifiant, on trouve :
z
=
35
8
{\displaystyle z={\frac {35}{8}}~}
En reportant dans :
x
=
z
−
19
8
{\displaystyle x=z-{\frac {19}{8}}~}
On obtient finalement :
x
=
2
{\displaystyle x=2~}
modifier
Nous avons une équation de la forme :
a
x
3
+
b
x
2
+
c
x
+
d
=
0
{\displaystyle ax^{3}+bx^{2}+cx+d=0~}
avec :
a
=
1
b
=
−
1
c
=
−
1
d
=
−
2
{\displaystyle a=1\qquad b=-1\qquad c=-1\qquad d=-2~}
Pour supprimer le monôme de degré deux, nous commencerons par faire le changement de variable :
x
=
z
−
b
3
a
=
z
+
1
3
{\displaystyle x=z-{\frac {b}{3a}}=z+{\frac {1}{3}}~}
Nous obtenons :
(
z
+
1
3
)
3
−
(
z
+
1
3
)
2
−
(
z
+
1
3
)
−
2
=
0
{\displaystyle \left(z+{\frac {1}{3}}\right)^{3}-\left(z+{\frac {1}{3}}\right)^{2}-\left(z+{\frac {1}{3}}\right)-2=0~}
En développant et en réduisant les termes semblables, on obtient :
z
3
−
4
3
z
−
65
27
=
0
{\displaystyle z^{3}-{\frac {4}{3}}z-{\frac {65}{27}}=0~}
Nous avons alors une équation de la forme :
z
3
+
p
z
+
q
=
0
{\displaystyle z^{3}+pz+q=0~}
avec :
p
=
−
4
3
q
=
−
65
27
{\displaystyle p=-{\frac {4}{3}}\qquad q=-{\frac {65}{27}}~}
Comme
p
<
0
{\displaystyle p<0}
θ
{\displaystyle \theta }
sin
θ
=
−
2
p
3
q
−
p
3
=
−
16
65
{\displaystyle \sin \theta =-{\frac {2p}{3q}}{\sqrt {-{\frac {p}{3}}}}=-{\frac {16}{65}}~}
On obtient :
θ
=
arcsin
(
−
16
65
)
≈
−
0
,
24871
{\displaystyle \theta =\arcsin \left(-{\frac {16}{65}}\right)\approx -0,24871~}
On calcule ensuite
φ
{\displaystyle \varphi }
tan
φ
=
tan
(
θ
2
)
3
{\displaystyle \tan \varphi ={\sqrt[{3}]{\tan \left({\frac {\theta }{2}}\right)}}~}
On obtient :
φ
=
arctan
tan
(
θ
2
)
3
≈
−
0
,
46365
{\displaystyle \varphi =\arctan {\sqrt[{3}]{\tan \left({\frac {\theta }{2}}\right)}}\approx -0,46365~}
Les valeurs de
x
{\displaystyle x}
{
x
1
=
−
2
−
p
3
1
sin
(
2
φ
)
−
b
3
a
≈
2
x
2
=
−
p
3
1
sin
(
2
φ
)
−
i
−
p
tan
(
2
φ
)
−
b
3
a
≈
−
0
,
5
+
0
,
866
i
x
3
=
−
p
3
1
sin
(
2
φ
)
+
i
−
p
tan
(
2
φ
)
−
b
3
a
≈
−
0
,
5
−
0
,
866
i
{\displaystyle {\begin{cases}x_{1}=-2{\sqrt {\frac {-p}{3}}}{\frac {1}{\sin(2\varphi )}}-{\frac {b}{3a}}\approx 2\\x_{2}={\sqrt {\frac {-p}{3}}}{\frac {1}{\sin(2\varphi )}}-i{\frac {\sqrt {-p}}{\tan(2\varphi )}}-{\frac {b}{3a}}\approx -0,5+0,866i\\x_{3}={\sqrt {\frac {-p}{3}}}{\frac {1}{\sin(2\varphi )}}+i{\frac {\sqrt {-p}}{\tan(2\varphi )}}-{\frac {b}{3a}}\approx -0,5-0,866i\end{cases}}}
Soit à résoudre l'équation :
x
3
−
6
x
2
+
5
x
−
1
=
0
{\displaystyle x^{3}-6x^{2}+5x-1=0~}
modifier
Nous devons résoudre l'équation :
x
3
−
6
x
2
+
5
x
−
1
=
0
{\displaystyle x^{3}-6x^{2}+5x-1=0~}
Nous avons une équation de la forme :
a
x
3
+
b
x
2
+
c
x
+
d
=
0
{\displaystyle ax^{3}+bx^{2}+cx+d=0~}
avec :
a
=
1
b
=
−
6
c
=
5
d
=
−
1
{\displaystyle a=1\qquad b=-6\qquad c=5\qquad d=-1~}
Pour supprimer le monôme de degré deux, nous commencerons par faire le changement de variable :
x
=
z
−
b
3
a
=
z
+
2
{\displaystyle x=z-{\frac {b}{3a}}=z+2~}
Nous obtenons :
(
z
+
2
)
3
−
6
(
z
+
2
)
2
+
5
(
z
+
2
)
−
1
=
0
{\displaystyle (z+2)^{3}-6(z+2)^{2}+5(z+2)-1=0~}
En développant et en réduisant les termes semblables, on obtient :
z
3
−
7
z
−
7
=
0
{\displaystyle z^{3}-7z-7=0~}
Posons :
z
=
u
+
v
{\displaystyle z=u+v~}
On obtient :
(
u
+
v
)
3
−
7
(
u
+
v
)
−
7
=
0
{\displaystyle (u+v)^{3}-7(u+v)-7=0~}
Qui peut s'écrire :
u
3
+
v
3
+
(
3
u
v
−
7
)
(
u
+
v
)
−
7
=
0
{\displaystyle u^{3}+v^{3}+(3uv-7)(u+v)-7=0~}
Posons :
u
v
=
7
3
{\displaystyle uv={\frac {7}{3}}~}
On obtient :
{
u
3
+
v
3
=
7
u
3
v
3
=
343
27
{\displaystyle \left\{{\begin{matrix}u^{3}+v^{3}=7\\u^{3}v^{3}={\frac {343}{27}}\end{matrix}}\right.}
u3 et v3 sont donc racines de l'équation :
X
2
−
7
X
+
343
27
=
0
{\displaystyle X^{2}-7X+{\frac {343}{27}}=0~}
Qui a pour racine :
{
u
3
=
7
2
+
7
i
3
18
v
3
=
7
2
−
7
i
3
18
{\displaystyle \left\{{\begin{matrix}u^{3}={\frac {7}{2}}+{\frac {7i{\sqrt {3}}}{18}}\\v^{3}={\frac {7}{2}}-{\frac {7i{\sqrt {3}}}{18}}\end{matrix}}\right.}
Tout cela pour dire en fait que u a trois valeurs possibles qui sont :
u
=
7
2
+
7
i
3
18
3
ou
u
=
j
⋅
7
2
+
7
i
3
18
3
ou
u
=
j
2
⋅
7
2
+
7
i
3
18
3
{\displaystyle u={\sqrt[{3}]{{\frac {7}{2}}+{\frac {7i{\sqrt {3}}}{18}}}}\qquad {\text{ou}}\qquad u=j\cdot {\sqrt[{3}]{{\frac {7}{2}}+{\frac {7i{\sqrt {3}}}{18}}}}\qquad {\text{ou}}\qquad u=j^{2}\cdot {\sqrt[{3}]{{\frac {7}{2}}+{\frac {7i{\sqrt {3}}}{18}}}}~}
et v a aussi trois valeurs possibles qui sont :
v
=
7
2
−
7
i
3
18
3
ou
v
=
j
⋅
7
2
−
7
i
3
18
3
ou
v
=
j
2
⋅
7
2
−
7
i
3
18
3
{\displaystyle v={\sqrt[{3}]{{\frac {7}{2}}-{\frac {7i{\sqrt {3}}}{18}}}}\qquad {\text{ou}}\qquad v=j\cdot {\sqrt[{3}]{{\frac {7}{2}}-{\frac {7i{\sqrt {3}}}{18}}}}\qquad {\text{ou}}\qquad v=j^{2}\cdot {\sqrt[{3}]{{\frac {7}{2}}-{\frac {7i{\sqrt {3}}}{18}}}}~}
Nous devons ensuite en déduire x en ajoutant une valeur de u avec une valeur de v .
Comment savoir quelle valeur de u va avec quelle valeur de v ?
Nous devons choisir une valeur de u et une valeur de v vérifiant la relation posée plus haut :
u
v
=
7
3
{\displaystyle uv={\frac {7}{3}}~}
Compte tenu du fait que j 3 = 1, nous accouplerons u et v de la façon suivante :
{
u
=
7
2
+
7
i
3
18
3
v
=
7
2
−
7
i
3
18
3
ou
{
u
=
j
⋅
7
2
+
7
i
3
18
3
v
=
j
2
⋅
7
2
−
7
i
3
18
3
ou
{
u
=
j
2
⋅
7
2
+
7
i
3
18
3
v
=
j
⋅
7
2
−
7
i
3
18
3
{\displaystyle {\begin{cases}u={\sqrt[{3}]{{\frac {7}{2}}+{\frac {7i{\sqrt {3}}}{18}}}}\\v={\sqrt[{3}]{{\frac {7}{2}}-{\frac {7i{\sqrt {3}}}{18}}}}\end{cases}}\qquad {\text{ou}}\qquad {\begin{cases}u=j\cdot {\sqrt[{3}]{{\frac {7}{2}}+{\frac {7i{\sqrt {3}}}{18}}}}\\v=j^{2}\cdot {\sqrt[{3}]{{\frac {7}{2}}-{\frac {7i{\sqrt {3}}}{18}}}}\end{cases}}\qquad {\text{ou}}\qquad {\begin{cases}u=j^{2}\cdot {\sqrt[{3}]{{\frac {7}{2}}+{\frac {7i{\sqrt {3}}}{18}}}}\\v=j\cdot {\sqrt[{3}]{{\frac {7}{2}}-{\frac {7i{\sqrt {3}}}{18}}}}\end{cases}}}
Comme z = u + v , nous en déduisons trois valeurs pour z qui sont :
z
1
=
7
2
+
7
i
3
18
3
+
7
2
−
7
i
3
18
3
{\displaystyle z_{1}={\sqrt[{3}]{{\frac {7}{2}}+{\frac {7i{\sqrt {3}}}{18}}}}+{\sqrt[{3}]{{\frac {7}{2}}-{\frac {7i{\sqrt {3}}}{18}}}}~}
z
2
=
j
⋅
7
2
+
7
i
3
18
3
+
j
2
⋅
7
2
−
7
i
3
18
3
{\displaystyle z_{2}=j\cdot {\sqrt[{3}]{{\frac {7}{2}}+{\frac {7i{\sqrt {3}}}{18}}}}+j^{2}\cdot {\sqrt[{3}]{{\frac {7}{2}}-{\frac {7i{\sqrt {3}}}{18}}}}~}
z
3
=
j
2
⋅
7
2
+
7
i
3
18
3
+
j
⋅
7
2
−
7
i
3
18
3
{\displaystyle z_{3}=j^{2}\cdot {\sqrt[{3}]{{\frac {7}{2}}+{\frac {7i{\sqrt {3}}}{18}}}}+j\cdot {\sqrt[{3}]{{\frac {7}{2}}-{\frac {7i{\sqrt {3}}}{18}}}}~}
En reportant les trois valeurs de z dans la relation :
x
=
z
+
2
{\displaystyle x=z+2~}
Nous en déduisons finalement :
x
1
=
7
2
+
7
i
3
18
3
+
7
2
−
7
i
3
18
3
+
2
{\displaystyle x_{1}={\sqrt[{3}]{{\frac {7}{2}}+{\frac {7i{\sqrt {3}}}{18}}}}+{\sqrt[{3}]{{\frac {7}{2}}-{\frac {7i{\sqrt {3}}}{18}}}}+2}
x
2
=
j
⋅
7
2
+
7
i
3
18
3
+
j
2
⋅
7
2
−
7
i
3
18
3
+
2
{\displaystyle x_{2}=j\cdot {\sqrt[{3}]{{\frac {7}{2}}+{\frac {7i{\sqrt {3}}}{18}}}}+j^{2}\cdot {\sqrt[{3}]{{\frac {7}{2}}-{\frac {7i{\sqrt {3}}}{18}}}}+2}
x
3
=
j
2
⋅
7
2
+
7
i
3
18
3
+
j
⋅
7
2
−
7
i
3
18
3
+
2
{\displaystyle x_{3}=j^{2}\cdot {\sqrt[{3}]{{\frac {7}{2}}+{\frac {7i{\sqrt {3}}}{18}}}}+j\cdot {\sqrt[{3}]{{\frac {7}{2}}-{\frac {7i{\sqrt {3}}}{18}}}}+2}
Le calcul des valeurs approchées nous donne :
x
1
≈
5
,
049
{\displaystyle x_{1}\approx 5,049~}
x
2
≈
0
,
308
{\displaystyle x_{2}\approx 0,308~}
x
3
≈
0
,
643
{\displaystyle x_{3}\approx 0,643~}
modifier
L'équation :
x
3
−
6
x
2
+
5
x
−
1
=
0
{\displaystyle x^{3}-6x^{2}+5x-1=0~}
est de la forme :
a
x
3
+
b
x
2
+
c
x
+
d
=
0
{\displaystyle ax^{3}+bx^{2}+cx+d=0~}
avec :
a
=
1
b
=
−
6
c
=
5
d
=
−
1
{\displaystyle a=1\qquad b=-6\qquad c=5\qquad d=-1~}
Nous poserons :
x
=
z
−
b
3
a
=
z
+
2
{\displaystyle x=z-{\frac {b}{3a}}=z+2~}
On obtient :
z
3
−
7
z
−
7
=
0
{\displaystyle z^{3}-7z-7=0~}
Nous obtenons une équation de la forme :
z
3
+
p
z
+
q
=
0
{\displaystyle z^{3}+pz+q=0~}
avec :
p
=
−
7
q
=
−
7
{\displaystyle p=-7\qquad q=-7~}
Nous ferons donc le changement de variable suivant :
z
=
−
4
p
3
cos
θ
=
2
21
3
cos
θ
{\displaystyle z={\sqrt {-{\frac {4p}{3}}}}\cos {\theta }={\frac {2{\sqrt {21}}}{3}}\cos {\theta }~}
Nous obtenons :
8
cos
3
θ
21
−
6
cos
θ
21
−
9
=
0
{\displaystyle 8\cos ^{3}{\theta }{\sqrt {21}}-6\cos {\theta }{\sqrt {21}}-9=0~}
Qui se simplifie sous la forme :
2
21
(
4
cos
3
θ
−
3
cos
θ
)
=
9
{\displaystyle 2{\sqrt {21}}\left(4\cos ^{3}{\theta }-3\cos {\theta }\right)=9~}
La linéarisation du premier membre donne :
2
21
cos
(
3
θ
)
=
9
{\displaystyle 2{\sqrt {21}}\cos(3\theta )=9~}
Qui s'écrit aussi :
cos
(
3
θ
)
=
3
21
14
{\displaystyle \cos(3\theta )={\frac {3{\sqrt {21}}}{14}}~}
Nous en déduisons :
{
3
θ
=
arccos
(
3
21
14
)
+
2
k
π
ou
k
∈
Z
3
θ
=
−
arccos
(
3
21
14
)
+
2
k
π
{\displaystyle {\begin{cases}3\theta =\arccos \left({\frac {3{\sqrt {21}}}{14}}\right)+2k\pi \\{\text{ou}}\qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad k\in \mathbb {Z} \\3\theta =-\arccos \left({\frac {3{\sqrt {21}}}{14}}\right)+2k\pi \end{cases}}}
Que l’on peut écrire :
{
θ
=
1
3
arccos
(
3
21
14
)
+
2
k
3
π
ou
k
∈
Z
θ
=
−
1
3
arccos
(
3
21
14
)
+
2
k
3
π
{\displaystyle {\begin{cases}\theta ={\frac {1}{3}}\arccos \left({\frac {3{\sqrt {21}}}{14}}\right)+{\frac {2k}{3}}\pi \\{\text{ou}}\qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad k\in \mathbb {Z} \\\theta =-{\frac {1}{3}}\arccos \left({\frac {3{\sqrt {21}}}{14}}\right)+{\frac {2k}{3}}\pi \end{cases}}}
En reportant dans :
z
=
2
21
3
cos
θ
{\displaystyle z={\frac {2{\sqrt {21}}}{3}}\cos {\theta }~}
Nous voyons qu’il nous reste seulement les trois valeurs :
{
z
1
=
2
21
3
cos
(
1
3
arccos
(
3
21
14
)
)
z
2
=
2
21
3
cos
(
−
1
3
arccos
(
3
21
14
)
+
2
3
π
)
z
3
=
2
21
3
cos
(
1
3
arccos
(
3
21
14
)
+
4
3
π
)
{\displaystyle {\begin{cases}z_{1}={\frac {2{\sqrt {21}}}{3}}\cos \left({\frac {1}{3}}\arccos \left({\frac {3{\sqrt {21}}}{14}}\right)\right)\\z_{2}={\frac {2{\sqrt {21}}}{3}}\cos \left(-{\frac {1}{3}}\arccos \left({\frac {3{\sqrt {21}}}{14}}\right)+{\frac {2}{3}}\pi \right)\\z_{3}={\frac {2{\sqrt {21}}}{3}}\cos \left({\frac {1}{3}}\arccos \left({\frac {3{\sqrt {21}}}{14}}\right)+{\frac {4}{3}}\pi \right)\end{cases}}}
et en reportant dans :
x
=
z
+
2
{\displaystyle x=z+2~}
Nous obtenons finalement :
{
x
1
=
2
21
3
cos
(
1
3
arccos
(
3
21
14
)
)
+
2
x
2
=
2
21
3
cos
(
1
3
arccos
(
3
21
14
)
+
2
3
π
)
+
2
x
3
=
2
21
3
cos
(
1
3
arccos
(
3
21
14
)
+
4
3
π
)
+
2
{\displaystyle {\begin{cases}x_{1}={\frac {2{\sqrt {21}}}{3}}\cos \left({\frac {1}{3}}\arccos \left({\frac {3{\sqrt {21}}}{14}}\right)\right)+2\\x_{2}={\frac {2{\sqrt {21}}}{3}}\cos \left({\frac {1}{3}}\arccos \left({\frac {3{\sqrt {21}}}{14}}\right)+{\frac {2}{3}}\pi \right)+2\\x_{3}={\frac {2{\sqrt {21}}}{3}}\cos \left({\frac {1}{3}}\arccos \left({\frac {3{\sqrt {21}}}{14}}\right)+{\frac {4}{3}}\pi \right)+2\end{cases}}}
{
x
1
≈
5
,
049
x
2
≈
0
,
308
x
3
≈
0
,
643
{\displaystyle {\begin{cases}x_{1}\approx 5,049\\x_{2}\approx 0,308\\x_{3}\approx 0,643\end{cases}}}
modifier
L'équation :
x
3
−
6
x
2
+
5
x
−
1
=
0
{\displaystyle x^{3}-6x^{2}+5x-1=0~}
est une équation de la forme :
a
x
3
+
b
x
2
+
c
x
+
d
=
0
{\displaystyle ax^{3}+bx^{2}+cx+d=0~}
avec :
a
=
1
b
=
−
6
c
=
5
d
=
−
1
{\displaystyle a=1\qquad b=-6\qquad c=5\qquad d=-1~}
Nous commencerons par faire le changement de variable :
x
=
z
−
b
c
−
9
a
d
2
(
b
2
−
3
a
c
)
=
z
+
1
2
{\displaystyle x=z-{\frac {bc-9ad}{2(b^{2}-3ac)}}=z+{\frac {1}{2}}~}
On obtient :
8
z
3
−
36
z
2
−
2
z
+
1
=
0
{\displaystyle 8z^{3}-36z^{2}-2z+1=0~}
Qui est une équation de la forme :
r
z
3
+
s
z
2
+
p
z
+
q
=
0
{\displaystyle rz^{3}+sz^{2}+pz+q=0~}
Avec :
r
=
8
s
=
−
36
p
=
−
2
q
=
1
{\displaystyle r=8\qquad s=-36\qquad p=-2\qquad q=1~}
On peut vérifier que l’on a bien sp - 9rq = 0.
Posons ensuite :
z
=
−
p
3
r
tan
(
θ
)
=
3
6
tan
(
θ
)
{\displaystyle z={\sqrt {-{\frac {p}{3r}}}}\tan(\theta )={\frac {\sqrt {3}}{6}}\tan(\theta )~}
On obtient :
tan
3
θ
−
9
tan
2
θ
3
−
3
tan
θ
+
3
3
=
0
{\displaystyle \tan ^{3}\theta -9\tan ^{2}\theta {\sqrt {3}}-3\tan \theta +3{\sqrt {3}}=0~}
Que l’on peut écrire :
tan
3
θ
−
3
tan
θ
=
3
3
(
3
tan
2
θ
−
1
)
{\displaystyle \tan ^{3}\theta -3\tan \theta =3{\sqrt {3}}(3\tan ^{2}\theta -1)~}
Que l’on peut mettre sous la forme :
tan
3
θ
−
3
tan
θ
3
tan
2
θ
−
1
=
3
3
{\displaystyle {\frac {\tan ^{3}\theta -3\tan \theta }{3\tan ^{2}\theta -1}}=3{\sqrt {3}}~}
Qui se simplifie sous la forme :
tan
(
3
θ
)
=
3
3
{\displaystyle \tan(3\theta )=3{\sqrt {3}}~}
Nous en déduisons :
3
θ
=
arctan
(
3
3
)
+
k
π
k
∈
Z
{\displaystyle 3\theta =\arctan(3{\sqrt {3}})+k\pi \qquad \qquad k\in \mathbb {Z} ~}
Que l’on peut écrire :
θ
=
1
3
arctan
(
3
3
)
+
k
π
3
k
∈
Z
{\displaystyle \theta ={\frac {1}{3}}\arctan(3{\sqrt {3}})+{\frac {k\pi }{3}}\qquad \qquad k\in \mathbb {Z} }
La représentation de l’ensemble de ces valeurs sur le cercle trigonométrique montre que l’on peut se limité à :
θ
∈
{
1
3
arctan
(
3
3
)
,
1
3
arctan
(
3
3
)
+
π
3
,
1
3
arctan
(
3
3
)
+
2
π
3
}
{\displaystyle \theta \in \left\{{\frac {1}{3}}\arctan(3{\sqrt {3}}),{\frac {1}{3}}\arctan(3{\sqrt {3}})+{\frac {\pi }{3}},{\frac {1}{3}}\arctan(3{\sqrt {3}})+{\frac {2\pi }{3}}\right\}~}
En reportant dans :
z
=
3
6
tan
(
θ
)
{\displaystyle z={\frac {\sqrt {3}}{6}}\tan(\theta )~}
Nous obtenons les trois valeurs :
{
z
1
=
3
6
tan
(
1
3
arctan
(
3
3
)
)
z
2
=
3
6
tan
(
1
3
arctan
(
3
3
)
+
π
3
)
z
3
=
3
6
tan
(
1
3
arctan
(
3
3
)
+
2
π
3
)
{\displaystyle {\begin{cases}z_{1}={\frac {\sqrt {3}}{6}}\tan \left({\frac {1}{3}}\arctan(3{\sqrt {3}})\right)\\z_{2}={\frac {\sqrt {3}}{6}}\tan \left({\frac {1}{3}}\arctan(3{\sqrt {3}})+{\frac {\pi }{3}}\right)\\z_{3}={\frac {\sqrt {3}}{6}}\tan \left({\frac {1}{3}}\arctan(3{\sqrt {3}})+{\frac {2\pi }{3}}\right)\end{cases}}}
En reportant finalement ces valeurs dans :
x
=
z
+
1
2
{\displaystyle x=z+{\frac {1}{2}}~}
on obtient :
{
x
1
=
3
6
tan
(
1
3
arctan
(
3
3
)
)
+
1
2
x
2
=
3
6
tan
(
1
3
arctan
(
3
3
)
+
π
3
)
+
1
2
x
3
=
3
6
tan
(
1
3
arctan
(
3
3
)
+
2
π
3
)
+
1
2
{\displaystyle {\begin{cases}x_{1}={\frac {\sqrt {3}}{6}}\tan \left({\frac {1}{3}}\arctan(3{\sqrt {3}})\right)+{\frac {1}{2}}\\x_{2}={\frac {\sqrt {3}}{6}}\tan \left({\frac {1}{3}}\arctan(3{\sqrt {3}})+{\frac {\pi }{3}}\right)+{\frac {1}{2}}\\x_{3}={\frac {\sqrt {3}}{6}}\tan \left({\frac {1}{3}}\arctan(3{\sqrt {3}})+{\frac {2\pi }{3}}\right)+{\frac {1}{2}}\end{cases}}}
{
x
1
≈
0
,
643
x
2
≈
5
,
049
x
3
≈
0
,
308
{\displaystyle {\begin{cases}x_{1}\approx 0,643\\x_{2}\approx 5,049\\x_{3}\approx 0,308\end{cases}}}
![{\displaystyle \tan \varphi ={\sqrt[{3}]{\tan \left({\frac {\theta }{2}}\right)}}~}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/56fcf81ed8dfd7f10ed7a363397d7427e06f8e97)
![{\displaystyle \varphi =\arctan {\sqrt[{3}]{\tan \left({\frac {\theta }{2}}\right)}}\approx -0,46365~}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8fdbcd122854024e3e9eb30fbfdb677dffa0a698)
![{\displaystyle u={\sqrt[{3}]{{\frac {7}{2}}+{\frac {7i{\sqrt {3}}}{18}}}}\qquad {\text{ou}}\qquad u=j\cdot {\sqrt[{3}]{{\frac {7}{2}}+{\frac {7i{\sqrt {3}}}{18}}}}\qquad {\text{ou}}\qquad u=j^{2}\cdot {\sqrt[{3}]{{\frac {7}{2}}+{\frac {7i{\sqrt {3}}}{18}}}}~}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1f981c30cc2eb06727ed940af4332ad54643abd4)
![{\displaystyle v={\sqrt[{3}]{{\frac {7}{2}}-{\frac {7i{\sqrt {3}}}{18}}}}\qquad {\text{ou}}\qquad v=j\cdot {\sqrt[{3}]{{\frac {7}{2}}-{\frac {7i{\sqrt {3}}}{18}}}}\qquad {\text{ou}}\qquad v=j^{2}\cdot {\sqrt[{3}]{{\frac {7}{2}}-{\frac {7i{\sqrt {3}}}{18}}}}~}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0a6f1698fa72f8c746b48a16318cef1c966b80ef)
![{\displaystyle {\begin{cases}u={\sqrt[{3}]{{\frac {7}{2}}+{\frac {7i{\sqrt {3}}}{18}}}}\\v={\sqrt[{3}]{{\frac {7}{2}}-{\frac {7i{\sqrt {3}}}{18}}}}\end{cases}}\qquad {\text{ou}}\qquad {\begin{cases}u=j\cdot {\sqrt[{3}]{{\frac {7}{2}}+{\frac {7i{\sqrt {3}}}{18}}}}\\v=j^{2}\cdot {\sqrt[{3}]{{\frac {7}{2}}-{\frac {7i{\sqrt {3}}}{18}}}}\end{cases}}\qquad {\text{ou}}\qquad {\begin{cases}u=j^{2}\cdot {\sqrt[{3}]{{\frac {7}{2}}+{\frac {7i{\sqrt {3}}}{18}}}}\\v=j\cdot {\sqrt[{3}]{{\frac {7}{2}}-{\frac {7i{\sqrt {3}}}{18}}}}\end{cases}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/01a7c97979759bd6787158f81e730f9775c54cd1)
![{\displaystyle z_{1}={\sqrt[{3}]{{\frac {7}{2}}+{\frac {7i{\sqrt {3}}}{18}}}}+{\sqrt[{3}]{{\frac {7}{2}}-{\frac {7i{\sqrt {3}}}{18}}}}~}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6d5d64de1360a102f3c576c476a056904ad74dd5)
![{\displaystyle z_{2}=j\cdot {\sqrt[{3}]{{\frac {7}{2}}+{\frac {7i{\sqrt {3}}}{18}}}}+j^{2}\cdot {\sqrt[{3}]{{\frac {7}{2}}-{\frac {7i{\sqrt {3}}}{18}}}}~}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6c4201916c11d9c5785e2521d869a823fa52d006)
![{\displaystyle z_{3}=j^{2}\cdot {\sqrt[{3}]{{\frac {7}{2}}+{\frac {7i{\sqrt {3}}}{18}}}}+j\cdot {\sqrt[{3}]{{\frac {7}{2}}-{\frac {7i{\sqrt {3}}}{18}}}}~}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0de3d819acf7be5b7dfcb35dfd1d3b88f22da102)
![{\displaystyle x_{1}={\sqrt[{3}]{{\frac {7}{2}}+{\frac {7i{\sqrt {3}}}{18}}}}+{\sqrt[{3}]{{\frac {7}{2}}-{\frac {7i{\sqrt {3}}}{18}}}}+2}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c82aac86b61954949d090e2fd7d1f6efe66c4806)
![{\displaystyle x_{2}=j\cdot {\sqrt[{3}]{{\frac {7}{2}}+{\frac {7i{\sqrt {3}}}{18}}}}+j^{2}\cdot {\sqrt[{3}]{{\frac {7}{2}}-{\frac {7i{\sqrt {3}}}{18}}}}+2}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6eab9579c24a44d1f2829a9a3d77fb8f83ec9a19)
![{\displaystyle x_{3}=j^{2}\cdot {\sqrt[{3}]{{\frac {7}{2}}+{\frac {7i{\sqrt {3}}}{18}}}}+j\cdot {\sqrt[{3}]{{\frac {7}{2}}-{\frac {7i{\sqrt {3}}}{18}}}}+2}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6694f822c51cbd1f4b51572c3c6c537f859180a6)
