Dans ce chapitre, nous allons étudier comment résoudre une équation du troisième degré à coefficients réels par une méthode purement trigonométrique. Certains des paragraphes de ce chapitre nécessitent une connaissance préliminaire sur la trigonométrie hyperbolique. Les personnes n'ayant pas étudié la trigonométrie hyperbolique peuvent sauter ces paragraphes sans problème. Ils ne sont pas utiles pour la suite du cours. Nous commencerons par étudier une méthode de résolution trigonométrique en cosinus et sinus. Nous étudierons ensuite une méthode de résolution en tangente. Les deux premières méthodes ne permettant pas a priori (mais voir la remarque finale) de trouver les racines complexes conjuguées dans une équation de discriminant négatif, nous aborderons une troisième méthode qui réalise cette fonction.
En raison de limitations techniques, la typographie souhaitable du titre, « Équation du troisième degré : Résolutions trigonométriques Équation du troisième degré/Résolutions trigonométriques », n'a pu être restituée correctement ci-dessus.
Pour trouver les trois racines (réelles et distinctes), nous allons faire un changement de variable de la forme
,
où est un paramètre non nul que nous allons bientôt préciser.
L'équation deviendra alors
.
L'astuce est de faire en sorte que le membre de gauche de cette équation soit proportionnel à , c'est-à-dire que soit égal à .
On choisit donc , et l'on pose
.
L'équation devient alors
et nous sommes ramenés à la résolution d'une équation trigonométrique simple, qui donnera bien les trois solutions car d'après l'hypothèse, . On retrouve d'ailleurs ainsi les formules de la fin des deux chapitres précédents.
Cette résolution nécessite une condition différente de l'élimination habituelle du monôme de degré 2, mais réalisable pour presque toute équation de degré 3 :
Proposition
Toute équation de degré 3
telle que
est équivalente, par le changement de variable , à une équation de la forme
avec .
Démonstration
On pourrait faire le changement de variable préconisé et vérifier que l’on obtient bien une équation telle que et . Il est plus instructif de procéder comme si l'on ne connaissait pas le changement de variable à faire et de poser en essayant de déterminer de façon à obtenir une équation du troisième degré en de la forme annoncée.
Soient les racines de l'équation initiale. Notons les polynômes symétriques en , et posons
;
.
Il s'agit de démontrer que :
;
.
La seconde implication est immédiate car (cf. exercice 2-9) est en fait indépendant de .
La première l'est aussi si .
Supposons donc et utilisons le fait (cf. exercice 2-9) que l'expression suivante est, comme , indépendante de :
.
Puisque
,
il existe un tel que si et seulement si, et cette solution est bien alors :
.
Le seul cas où cette proposition ne s'applique pas est très facile à résoudre directement.
Nous nous consacrerons donc dans cette section à une équation de la forme
Au premier membre, nous reconnaissons le développement de coth(3θ). Nous arrivons donc à :
.
(La condition 0 < p < s2/3 garantit que le second membre de l'équation obtenue n’est pas compris entre –1 et 1, ce qui va permettre de résoudre l'équation.)
On obtient la solution réelle :
.
La formule :
pourra avantageusement être utilisée dans la formule que l’on vient de trouver.
Dans ce chapitre, lorsqu'une équation du troisième degré a trois racines réelles, nous avons pu les trouver sans faire appel aux nombres complexes. Ceci est dû au fait que les résolutions trigonométriques étudiées dans ce chapitre ne sont pas des résolutions par radicaux. On démontre dans la théorie de Galois que si une équation du troisième degré a trois racines réelles distinctes non rationnelles, il n’est pas possible de les exprimer par radicaux de réels.
Certaines des méthodes trigonométriques que nous avons vues ne semblent pas permettre de trouver les deux racines complexes conjuguées d'une équation du troisième degré de discriminant négatif. En réalité, elles le permettent (par les mêmes formules que pour la racine réelle), en considérant simplement les fonctions trigonométriques (circulaires et hyperboliques) étendues à la variable complexe.