Équation et inéquation/Équation produit et équation quotient

**Équation produit et équation quotient**
Leçon : Équation et inéquation

Chapitre n^o 3
Chap. préc. :	Résolution graphique d'une équation
Chap. suiv. :	Signe d'un binôme
Exercices :	Équations produit

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Équation et inéquation/Équation produit et équation quotient », n'a pu être restituée correctement ci-dessus.

Équation-produit

Définition

Une équation-produit est une équation qui se présente sous la forme :

$f(x)\times g(x)=0$ .

Le théorème suivant constitue alors un très puissant outil de résolution :

Théorème

Un produit de facteurs est nul si et seulement si au moins un de ses facteurs est nul, autrement dit :

$f(x)\times g(x)=0$ équivaut à $f(x)=0$ ou $g(x)=0$ .

Factorisations

Pour transformer une équation en équation-produit, il faut, dans un premier temps, transférer tous les termes d'un seul côté de l'équation, puis factoriser :

soit avec une identité remarquable ;
soit en trouvant un facteur commun.

Exemples

Résoudre dans $\mathbb {R}$ les équations :

$\left(3x+1\right)(1-9x)=0$ ;

Solution

$3x+1=0$
$x=-1/3$

$1-9x=0$
$x=1/9$

Donc : $S=\left\{-1/3,1/9\right\}$

$\left(3x+1\right)^{2}=1-9x^{2}$ .

Solution

{\begin{aligned}\left(3x+1\right)^{2}+9x^{2}-1&=\left(9x^{2}+2\times 3x\times 1+1\right)+9x^{2}-1\\&=9x^{2}+6x+1+9x^{2}-1\\&=18x^{2}+6x\\&=18x^{2}+6x\\&=6x\left(3x+1\right).\end{aligned}}

6x\left(3x+1\right)=0\Leftrightarrow 6x=0{\text{ ou }}3x+1=0\Leftrightarrow x=0{\text{ ou }}3x=-1\Leftrightarrow x=0{\text{ ou }}x=-{\frac {1}{3}}

.

S=\left\{0,-{\frac {1}{3}}\right\}

.

Équation-quotient

Définition

Une équation-quotient est une équation qui se présente sous la forme :

${\frac {f(x)}{g(x)}}=0$ .

Remarque

Les valeurs de $x$ qui annulent la fonction g sont exclues de la résolution : elles ne peuvent pas être solution.

Théorème

Un quotient de deux nombres est nul si et seulement si son numérateur est nul et si son dénominateur est non nul.

Autrement dit, la résolution d'une équation-quotient se ramène à la résolution de deux équations vérifiant certaines conditions :

les solutions de $g(x)=0$ sont exclues ;
les solutions de $f(x)=0$ sont les seules solutions de ${\frac {f(x)}{g(x)}}=0$ , à condition qu’elles n'aient pas été exclues au préalable.