Équation et inéquation/Équation produit et équation quotient

Début de la boite de navigation du chapitre

fin de la boite de navigation du chapitre

Équation-produit

Définition

Une équation-produit est une équation qui se présente sous la forme :

$f(x)\times g(x)=0$.

Le théorème suivant constitue alors un très puissant outil de résolution :

Début d’un théorème

Théorème

Un produit de facteurs est nul si et seulement si au moins un de ses facteurs est nul, autrement dit :

$f(x)\times g(x)=0$ équivaut à $f(x)=0$ ou $g(x)=0$.

Fin du théorème

Factorisations

Pour transformer une équation en équation-produit, il faut, dans un premier temps, transférer tous les termes d'un seul côté de l'équation, puis factoriser :

• soit avec une identité remarquable ;
• soit en trouvant un facteur commun.

Début de l'exemple

Exemples

Résoudre dans $\mathbb {R}$ les équations :

• $\left(3x+1\right)(1-9x)=0$ ;

Solution

$3x+1=0$
​ $x=-1/3$
​
​ $1-9x=0$
​ $x=1/9$

Donc : $S=\left\{-1/3,1/9\right\}$

 

• $\left(3x+1\right)^{2}=1-9x^{2}$.

Solution

${\begin{aligned}\left(3x+1\right)^{2}+9x^{2}-1&=\left(9x^{2}+2\times 3x\times 1+1\right)+9x^{2}-1\\&=9x^{2}+6x+1+9x^{2}-1\\&=18x^{2}+6x\\&=18x^{2}+6x\\&=6x\left(3x+1\right).\end{aligned}}$

$6x\left(3x+1\right)=0\Leftrightarrow 6x=0{\text{ ou }}3x+1=0\Leftrightarrow x=0{\text{ ou }}3x=-1\Leftrightarrow x=0{\text{ ou }}x=-{\frac {1}{3}}$.

$S=\left\{0,-{\frac {1}{3}}\right\}$.

 

Fin de l'exemple

Équation-quotient

Définition

Une équation-quotient est une équation qui se présente sous la forme :

${\frac {f(x)}{g(x)}}=0$.

Remarque

Les valeurs de $x$ qui annulent la fonction g sont exclues de la résolution : elles ne peuvent pas être solution.

Début d’un théorème

Théorème

Un quotient de deux nombres est nul si et seulement si son numérateur est nul et si son dénominateur est non nul.

Fin du théorème

Autrement dit, la résolution d'une équation-quotient se ramène à la résolution de deux équations vérifiant certaines conditions :

• les solutions de $g(x)=0$ sont exclues ;
• les solutions de $f(x)=0$ sont les seules solutions de ${\frac {f(x)}{g(x)}}=0$, à condition qu’elles n'aient pas été exclues au préalable.

Début de l'exemple

Exemple

Résoudre l'équation ${\frac {2x+3}{x-5}}=0$.

Solution

On détermine les valeurs interdites : le dénominateur $x-5$ s'annule si $x=5$.

On résout pour $x\in \mathbb {R} \setminus \{5\}$ :

${\frac {2x+3}{x-5}}=0\Leftrightarrow 2x+3=0\Leftrightarrow 2x=-3\Leftrightarrow x=-{\frac {3}{2}}$.

Finalement, $S=\{-{\frac {3}{2}}\}$.

 

Fin de l'exemple