Équation et inéquation/Exercices/Équations produit

Résoudre dans $\mathbb {R}$ les équations suivantes.

Équations produit

1. $\left(2x+3\right)\left(1-x\right)=0$.
2. $x\left(x-1\right)=0$.
3. $\left(5+x\right)\left(5-x\right)=0$.
4. $\left({\frac {2}{3}}x-{\frac {5}{4}}\right)\left({\frac {3}{2}}x-5x\right)=0$.
5. $\left(x-{\sqrt {2}}\right)\left(x{\sqrt {2}}-1\right)=0$.

Solution

1. $\left(2x+3\right)\left(1-x\right)=0\Leftrightarrow 2x+3=0{\text{ ou }}1-x=0\Leftrightarrow x\in \left\{-{\frac {3}{2}},1\right\}$.
2. $x\left(x-1\right)=0\Leftrightarrow x=0{\text{ ou }}x-1=0\Leftrightarrow x\in \{0,1\}$.
3. $\left(5+x\right)\left(5-x\right)=0\Leftrightarrow 5+x=0{\text{ ou }}5-x=0\Leftrightarrow x\in \{-5,5\}$.
4. $\left({\frac {2}{3}}x-{\frac {5}{4}}\right)\left({\frac {3}{2}}x-5x\right)=0\Leftrightarrow {\frac {2}{3}}x-{\frac {5}{4}}=0{\text{ ou }}{\frac {3}{2}}x-5x=0\Leftrightarrow x\in \left\{{\frac {15}{8}},0\right\}$.
5. $\left(x-{\sqrt {2}}\right)\left(x{\sqrt {2}}-1\right)=0\Leftrightarrow x-{\sqrt {2}}{\text{ ou }}x{\sqrt {2}}-1=0\Leftrightarrow x\in \left\{{\sqrt {2}},{\frac {1}{\sqrt {2}}}\right\}$.

 

Équations carrées

(C'est un cas particulier d'« équation produit ».)

1. $\left(x+{\frac {2}{3}}\right)^{2}=0$.
2. $2\left(x-1\right)^{2}=0$.
3. $\left({\frac {x}{5}}-2\right)x^{2}=0$.

Solution

1. $\left(x+{\frac {2}{3}}\right)^{2}=0\Leftrightarrow x=-{\frac {2}{3}}$.
2. $2\left(x-1\right)^{2}=0\Leftrightarrow x=1$.
3. $\left({\frac {x}{5}}-2\right)x^{2}=0\Leftrightarrow {\frac {x}{5}}-2{\text{ ou }}x^{2}=0\Leftrightarrow x\in \{10,0\}$.

 

Équations à factoriser

(Se ramener à une « équation produit nul ».)

1. $x^{2}=1$.
2. $x\left(x-2\right)=-1$.
3. $x\left(x+4\right)=-4$.
4. $\left(x+1\right)\left(x+3\right)=-1$.

Solution

1. $x^{2}=1\Leftrightarrow x^{2}-1=0\Leftrightarrow \left(x+1\right)\left(x-1\right)=0\Leftrightarrow x\in \{-1,1\}$.
2. $x\left(x-2\right)=-1\Leftrightarrow x^{2}-2x+1=0\Leftrightarrow \left(x-1\right)^{2}=0\Leftrightarrow x=1$.
3. $x\left(x+4\right)=-4\Leftrightarrow x^{2}+4x+4=0\Leftrightarrow \left(x+2\right)^{2}=0\Leftrightarrow x=-2$.
4. $\left(x+1\right)\left(x+3\right)=-1\Leftrightarrow x^{2}+4x+4=0\Leftrightarrow x=-2$, comme précédemment.