Équations et fonctions du second degré/Exercices/Un trinôme issu d'une situation géométrique

Dans la figure ci-dessous AB = 8 cm, M est un point « flottant » du segment [AB] tel qu'AM = x.

APM est un triangle équilatéral.

MBRQ est un carré.

1. Soit $x\in [0;8]$. On souhaite calculer en fonction de x l’aire A(x) du polygone ABRQP.

a. Calculer d’abord l’aire du carré MBRQ.

b. Calculer l'aire du triangle APM

c. Calculer l'aire du triangle MPQ.

d. Conclure.

2. Démontrer que pour tout $x\in [0;8],~A(x)={\frac {3+{\sqrt {3}}}{4}}x^{2}-14x+64$

3. Compléter le tableau de valeurs suivant et tracer la courbe représentative de A sur [0,8]. ${\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|c|c|}0&1&2&3&4&5&6&7&8\\\hline \cdots &\cdots &\cdots &\cdots &\cdots &\cdots &\cdots &\cdots &\cdots \end{array}}$

Solution

Aire du carré MBRQ

A, M et B alignés donc ${\rm {MB}}={\rm {AB}}-{\rm {AM}}=8-x$

L’aire d’un carré est égale au carré de son côté donc la solution est $(8-x)^{2}$

Aire du triangle APM

Soit (PD) la hauteur de APM issue de P, et D l'intersection de celle-ci et de (AM)

Comme APM est équilatéral, on a ${\rm {AD}}={\frac {\rm {AM}}{2}}={\frac {x}{2}}$

Selon le théorème de Pythagore, dans le triangle rectangle APD on a ${\rm {PD}}^{2}+{\rm {AD}}^{2}={\rm {AP}}^{2}$, soit ${\rm {PD}}^{2}={\rm {AP}}^{2}-{\rm {AD}}^{2}=x^{2}-\left({\frac {x}{2}}\right)^{2}=x^{2}\left(1-{\frac {1}{4}}\right)={\frac {3}{4}}x^{2}$

PD est positif car c’est une distance donc ${\rm {PD}}={\sqrt {{\frac {3}{4}}x^{2}}}={\frac {\sqrt {3}}{2}}x$

La solution est donc ${\frac {{\rm {AM}}\times {\rm {PD}}}{2}}={\frac {x\times {\frac {\sqrt {3}}{2}}x}{2}}={\frac {x^{2}{\sqrt {3}}}{4}}$

Aire du triangle MPQ

Soit (PE) la hauteur de PQM issue de P, et E l'intersection de celle-ci et de (QM)

${\rm {PE}}={\frac {x}{2}}$

La solution est donc ${\frac {{\rm {QM}}\times {\rm {PE}}}{2}}={\frac {(8-x){\frac {x}{2}}}{2}}=2x-{\frac {1}{4}}x^{2}$

Aire de ABRQP

La solution est la somme des 3 aires calculées précédemment, soit : $(8-x)^{2}+{\frac {x^{2}{\sqrt {3}}}{4}}+2x-{\frac {1}{4}}x^{2}$

Développement et réduction de $A(x)$

${\begin{aligned}64-16x+x^{2}+{\frac {x^{2}{\sqrt {3}}}{4}}+2x-{\frac {1}{4}}x^{2}&=\left({\frac {3}{4}}+{\frac {\sqrt {3}}{4}}\right)x^{2}-14x+64\\&={\frac {3+{\sqrt {3}}}{4}}x^{2}-14x+64\end{aligned}}$

Courbe représentative et table de valeurs

${\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|c|c|}0&1&2&3&4&5&6&7&8\\\hline 64&{\frac {{\sqrt {3}}+203}{4}}&{\sqrt {3}}+39&{\frac {9{\sqrt {3}}+115}{4}}&4{\sqrt {3}}+20&25{\sqrt {3}}+51&9{\sqrt {3}}+7&{\frac {49{\sqrt {3}}+11}{4}}&16{\sqrt {3}}\end{array}}$

Courbe