Équivalents et développements de suites/Exercices/Équivalent d'une suite définie de manière explicite

Exercice 1-1

Calculer le développement asymptotique à l’ordre 4 de la suite définie par :

$u_{n}=\ln \left(n\sin {\frac {1}{n}}\right)$

Solution

Le développement en 0 de sin(x) à l’ordre 5 étant :

$\sin x=x-{\frac {x^{3}}{6}}+{\frac {x^{5}}{120}}+o(x^{5})$,

on aura :

${\frac {\sin x}{x}}=1-{\frac {x^{2}}{6}}+{\frac {x^{4}}{120}}+o(x^{4})$.

D'autre part :

$\ln(1+y)=y-{\frac {y^{2}}{2}}+o(y^{2})$.

Par composition des développements et en ne gardant que les termes ne dépassant pas l’ordre 4, on obtient :

$\ln \left({\frac {\sin x}{x}}\right)=-{\frac {x^{2}}{6}}+{\frac {x^{4}}{120}}-{\frac {1}{2}}\left(-{\frac {x^{2}}{6}}\right)^{2}+o(x^{4})=-{\frac {x^{2}}{6}}-{\frac {x^{4}}{180}}+o(x^{4})$

et finalement, en posant x = 1/n, on obtient le développement asymptotique suivant :

$u_{n}=\ln \left(n\sin {\frac {1}{n}}\right)=-{\frac {1}{6n^{2}}}-{\frac {1}{180n^{4}}}+o\left({\frac {1}{n^{4}}}\right)$.

 

Exercice 1-2

Calculer le développement asymptotique à l’ordre 2 de la suite définie par :

$u_{n}=\exp \left({\frac {1-{\sqrt {n}}}{1+n}}\right)$.

Solution

${\frac {1-{\sqrt {n}}}{1+n}}={\frac {-{\frac {1}{\sqrt {n}}}+{\frac {1}{n}}}{1+{\frac {1}{n}}}}$.

Nous allons donc de calculer le développement limité en 0 à l'ordre 4 de la fonction

$f(t)=\exp \left({\frac {-t+t^{2}}{1+t^{2}}}\right)$, puis remplacer $t$ par ${\frac {1}{\sqrt {n}}}$.

Le développement limité de ${\frac {1}{1+t^{2}}}$ en 0 à l'ordre 3 est ${\frac {1}{1+t^{2}}}=1-t^{2}+o\left(t^{3}\right)$.

On en déduit :

${\frac {-t+t^{2}}{1+t^{2}}}=\left(-t+t^{2}\right)\left(1-t^{2}+o\left(t^{3}\right)\right)=-t+t^{2}+t^{3}-t^{4}+o\left(t^{4}\right)$.

D'autre part, on a le développement limité en 0 à l’ordre 4 suivant :

$\operatorname {e} ^{x}=1+x+{\frac {x^{2}}{2}}+{\frac {x^{3}}{6}}+{\frac {x^{4}}{24}}+o(x^{4})$.

En remplaçant et en développant, tout en englobant dans un même $o\left(t^{4}\right)$ tous les termes dépassant l'ordre 4, on obtient :

${\begin{aligned}f(t)=&1+\left(-t+t^{2}+t^{3}-t^{4}\right)+{\frac {1}{2}}\left(-t+t^{2}+t^{3}\right)^{2}+{\frac {1}{6}}\left(-t+t^{2}\right)^{3}+{\frac {1}{24}}\left(-t\right)^{4}+o\left(t^{4}\right)\\&=1-t+t^{2}+t^{3}-t^{4}+{\frac {1}{2}}\left(t^{2}-2t^{3}-t^{4}\right)+{\frac {1}{6}}\left(-t^{3}+3t^{4}\right)+{\frac {1}{24}}t^{4}+o\left(t^{4}\right)\\&=1-t+{\frac {3}{2}}t^{2}-{\frac {1}{6}}t^{3}-{\frac {23}{24}}t^{4}+o\left(t^{4}\right)\end{aligned}}$

donc

$\exp \left({\frac {1-{\sqrt {n}}}{1+n}}\right)=1-{\frac {1}{\sqrt {n}}}+{\frac {3}{2n}}-{\frac {1}{6n{\sqrt {n}}}}-{\frac {23}{24n^{2}}}+o\left({\frac {1}{n^{2}}}\right)$.

 

Exercice 1-3

Calculer les deux premiers termes du développement asymptotique de la suite définie par :

$u_{n}=\sin \left[\cos \left({\frac {\pi }{2}}-{\frac {n}{2^{n}}}\right)\right]$

Solution

Nous avons :

$u_{n}=\sin \left(\sin \left({\frac {n}{2^{n}}}\right)\right)$.

Le développement limité en 0 de sin(x) à l'ordre 2n + 2 est :

$\sin x=x-{\frac {x^{3}}{3!}}+{\frac {x^{5}}{5!}}-\cdots +(-1)^{n}{\frac {x^{2n+1}}{(2n+1)!}}+o(x^{2n+2})$,

en particulier, à l’ordre 4 :

$\sin x=x-{\frac {x^{3}}{6}}+o(x^{4})$.

En remplaçant, par composition, on obtient :

$\sin \left(\sin x\right)=\left(x-{\frac {x^{3}}{6}}+o(x^{4})\right)-{\frac {1}{6}}\left(x-{\frac {x^{3}}{6}}+o(x^{4})\right)^{3}+o(x^{4})$.

En développant et en ne gardant que les termes utiles, on obtient :

$\sin \left(\sin x\right)=x-{\frac {x^{3}}{3}}+o(x^{4})$.

En remplaçant $x$ par ${\frac {n}{2^{n}}}$, on conclut :

$u_{n}={\frac {n}{2^{n}}}-{\frac {n^{3}}{3\times 8^{n}}}+o\left({\frac {n^{4}}{16^{n}}}\right)$.

 

Exercice 1-4

Calculer le développement asymptotique à l’ordre 4 de la suite définie par :

$u_{n}={\sqrt {1+{\frac {1}{n}}{\sqrt {1+n^{2}}}}}$.

Solution

Puisque $u_{n}={\sqrt {1+{\sqrt {1+{\frac {1}{n^{2}}}}}}}$, nous allons calculer le développement limité à l'ordre 2 en 0 de ${\sqrt {1+{\sqrt {1+x}}}}$, puis remplacer x par 1/n².

Nous savons que :

$(1+z)^{p}=1+pz+{\frac {p(p-1)}{2}}z^{2}+o(z^{2})$,

en particulier :

${\sqrt {1+z}}=(1+z)^{\frac {1}{2}}=1+{\frac {z}{2}}-{\frac {z^{2}}{8}}+o(z^{2})$.

En posant z = x, nous en déduisons :

$y:={\sqrt {1+x}}-1={\frac {x}{2}}-{\frac {x^{2}}{8}}+o(x^{2})$.

En posant $z={\frac {y}{2}}$, nous en déduisons aussi :

${\sqrt {1+(1+y)}}={\sqrt {2}}{\sqrt {1+{\frac {y}{2}}}}={\sqrt {2}}\left(1+{\frac {y}{4}}-{\frac {y^{2}}{32}}+o(y^{2})\right)$

et en recomposant avec la première formule, on obtient :

${\sqrt {1+{\sqrt {1+x}}}}={\sqrt {2}}\left(1+{\frac {{\frac {x}{2}}-{\frac {x^{2}}{8}}}{4}}-{\frac {\left({\frac {x}{2}}\right)^{2}}{32}}+o(x^{2})\right)={\sqrt {2}}\left(1+{\frac {x}{8}}-{\frac {5x^{2}}{128}}+o(x^{2})\right)$,

d'où finalement :

$u_{n}={\sqrt {1+{\frac {1}{n}}{\sqrt {1+n^{2}}}}}={\sqrt {2}}\left(1+{\frac {1}{8n^{2}}}-{\frac {5}{128n^{4}}}+o\left({\frac {1}{n^{4}}}\right)\right)$.

 

Exercice 1-5

Déterminer des équivalents simples des suites suivantes :

• $t_{n}={\sqrt {n^{2}+2}}-n$.
• $u_{n}=\ln \left(\cos {\frac {1}{n}}\right)\ln \left(\sin {\frac {1}{n}}\right)$ ;
• $v_{n}={\sqrt {1+{\frac {(-1)^{n}}{\sqrt {n}}}}}-1$ ;
• $w_{n}=\left(1+{\frac {x}{n}}\right)^{n}$.

Solution

$t_{n}\sim {\frac {1}{n}}$, $u_{n}\sim {\frac {\ln n}{2n^{2}}}$, $v_{n}\sim {\frac {(-1)^{n}}{2{\sqrt {n}}}}$ et $w_{n}=\left(1+{\frac {x}{n}}\right)^{n}\to \operatorname {e} ^{x}$.

 

Exercice 1-6

Soit $u_{n}=\sum _{k=0}^{n}{\frac {1}{\binom {n}{k}}}$. Démontrer que $\sum _{k=2}^{n-2}{\frac {1}{\binom {n}{k}}}<{\frac {2}{n}}$ (pour tout $n\geq 4$) et en déduire $\lim u_{n}$.

Solution

Pour $2\leq k\leq n-2$, ${\binom {n}{k}}\geq {\binom {n}{2}}={\frac {n(n-1)}{2}}$ donc $\sum _{k=2}^{n-2}{\frac {1}{\binom {n}{k}}}\leq (n-3){\frac {2}{n(n-1)}}<{\frac {2}{n}}$, donc $u_{n}=2+{\frac {2}{n}}+R$ avec $0<R<{\frac {2}{n}}$ donc $u_{n}\to 2$.