Analyse numérique et calcul scientifique/Généralités sur les matrices

Début de la boite de navigation du chapitre
Généralités sur les matrices
Icône de la faculté
Chapitre no 3
Leçon : Analyse numérique et calcul scientifique
Chap. préc. :Splines
fin de la boite de navigation du chapitre
Icon falscher Titel.svg
En raison de limitations techniques, la typographie souhaitable du titre, « Analyse numérique et calcul scientifique : Généralités sur les matrices
Analyse numérique et calcul scientifique/Généralités sur les matrices
 », n'a pu être restituée correctement ci-dessus.

Notations et rappelsModifier

L'ensemble   est un corps commutatif,   ou   et  , l'espace vectoriel des matrices à   lignes et   colonnes à coefficients dans  . Si   a pour coefficients  , on notera :

 

  désigne l'indice de ligne et  , l'indice de colonne. La matrice   désigne la transposée de la matrice   :   et :

 .

La matrice   est l'adjointe de la matrice   :

 
Wikipédia possède un article à propos de « Rayon spectral ».

Lorsque   et  , si  ,   sont les valeurs propres dans   de   alors le rayon spectral de   est :

 

et sa trace est :

 .
Wikipédia possède un article à propos de « Matrice positive ».
Wikipédia possède un article à propos de « Matrice définie positive ».

  est dite

  • positive si   ;
  • définie positive si   ;

La matrice   désigne la matrice identité dans  . De plus, une matrice   est dite

  • diagonale si   pour   ;
  • bande   si   pour   et  .

Elle est dite  -diagonale si c’est une matrice bande  , c'est-à-dire   pour   et  . Il est aussi important de se souvenir des propriétés suivantes :

  • une matrice   hermitienne, c'est-à-dire telle que  , a toutes ses valeurs propres réelles et il existe une base de   de vecteurs propres de   :   est donc diagonalisable. En particulier, une matrice réelle symétrique a toutes ses valeurs propres réelles ;
  • une matrice définie positive a toutes ses valeurs propres strictement positives ;
  • pour une matrice  , il existe une matrice inversible   telle que la matrice   soit diagonale par blocs, chaque bloc étant une sous-matrice de Jordan   d'ordre  , c'est-à-dire telle que :
 .

Normes matriciellesModifier


Début de l'exemple
Fin de l'exemple


Norme subordonnéeModifier

Rappelons (cf. § « Cas particulier des applications linéaires » du cours sur les espaces vectoriel normés) qu'étant donnée une norme   sur l'espace vectoriel  , l’application encore notée   et définie par :

 

est une norme matricielle.

Cette norme, dite subordonnée à la norme vectorielle   donnée, vérifie :

 .




Début d’un théorème
Fin du théorème


En général,  . Cependant, si   est hermitienne alors   car   (cf. proposition ci-dessus), or  .


Début d’un théorème
Fin du théorème