Analyse vectorielle/Divergence

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Introduction

L'opérateur divergence est un outil d'analyse vectorielle qui mesure, pour faire simple, si un champ vectoriel « rentre » ou « sort » d'une zone de l'espace, comme ce que l’on peut observer sur un diagramme de lignes de champ. Il donne donc une information très liée aux sources qui créent le champ.

Comme nous le préciserons, l'opérateur divergence est l'équivalent local de la mesure d'un flux.

Définition

Définition

L'application qui à un champ vectoriel $\scriptstyle {\vec {M}}$ associe le champ scalaire dont la valeur en tout point est :

${\frac {\partial M_{x}}{\partial x}}+{\frac {\partial M_{y}}{\partial y}}+{\frac {\partial M_{z}}{\partial z}}$ (où M_i représente la coordonnée i de $\scriptstyle {\vec {M}}$) est appelé opérateur divergence et noté :

$\mathrm {div}$

Interprétations physiques

On peut interpréter le signe de la divergence en termes de « sources ». Cela est notamment flagrant en électromagnétisme, où le lien est direct :

$\mathrm {div} \,{\overrightarrow {E}}={\frac {\rho }{\varepsilon _{0}}}$ (équation de Maxwell-Gauss)

Ici, la divergence du champ électrique est liée à la densité de charges, ρ. Si les charges sont positives, la divergence est positive. De même si les charges sont négatives.

Une autre interprétation possible est en termes de « compression » : si le champ représente le mouvement de particules, une divergence non nulle implique que des particules se concentrent (ou s'éloignent) d'une zone de l'espace. En mécanique des fluides, un fluide incompressible est donc caractérisé par : $\mathrm {div} \,{\overrightarrow {v}}=0$

Enfin, une dernière interprétation est en termes de « volume » : le volume formé par des particules dans le flot du champ augmente si la divergence est positive et diminue si elle est négative.

Propriétés de l'opérateur divergence

Comme l'opérateur gradient, l'opérateur divergence est linéaire :

Linéarité de l'opérateur divergence

Soit $\scriptstyle {\vec {A}}$ et $\scriptstyle {\vec {B}}$ deux champs vectoriels. Alors, pour tous scalaires λ, µ, on a :

$\mathrm {div} \,\left(\lambda {\overrightarrow {A}}+\mu {\overrightarrow {B}}\right)=\lambda \mathrm {div} \,{\overrightarrow {A}}+\mu \mathrm {div} \,{\overrightarrow {B}}$

De même, si f est une fonction scalaire et $\scriptstyle {\vec {M}}$ un champ vectoriel, on a : $\mathrm {div} \,\left(f{\overrightarrow {M}}\right)={\overrightarrow {\mathrm {grad} }}f\cdot {\overrightarrow {M}}+f\mathrm {div} \,{\overrightarrow {M}}$

Enfin, il est utile de savoir que :

${\frac {\partial }{\partial t}}\mathrm {div} \,{\overrightarrow {M}}=\mathrm {div} \left({\frac {\partial }{\partial t}}{\overrightarrow {M}}\right)$

L'opérateur $\Delta =\mathrm {div} \,{\overrightarrow {\mathrm {grad} }}$, appelé opérateur laplacien, est l’objet d'un prochain chapitre.

Théorème de la divergence

Le théorème de la divergence relie flux sur une surface et divergence sur un volume.

Le théorème de la divergence, ou théorème de Green-Ostrogradski, qui n'est qu'une forme particulière du théorème de Stokes, trace un lien entre le flux et la divergence.

Début d’un théorème

Théorème de la divergence (Green-Ostrogradski)

Soit $\scriptstyle {\vec {M}}$ un champ vectoriel. Soit V un volume de l'espace, délimité par sa surface (fermée) S. Alors : $\int \!\!\!\!\!\int \!\!\!\!\!\int _{V}\left(\mathrm {div} \,{\overrightarrow {M}}\right)\mathrm {d} V=\int \!\!\!\!\!\!\!\subset \!\!\!\supset \!\!\!\!\!\!\!\int _{S}{\overrightarrow {M}}\cdot \mathrm {d} {\overrightarrow {S}}$

Fin du théorème

Dans cet énoncé, $\scriptstyle \mathrm {d} {\vec {S}}$ représente $\scriptstyle {\vec {n}}\mathrm {d} S$, où $\scriptstyle {\vec {n}}$ est le vecteur normal à la surface. C’est ce théorème qui justifie l'écriture locale du théorème de Gauss en électromagnétisme sous la forme de l'équation de Maxwell-Gauss.

Voir aussi

• (en) Quelques explications supplémentaires sur la divergence.