Analyse vectorielle/Gradient

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Introduction

Le gradient de deux champs, dont la valeur est d'autant plus grande que l'image est sombre.

Le premier outil vectoriel, car le plus simple, est l'opérateur gradient. Pour l'introduire, imaginons que le champ est un champ scalaire réel, et qu’il représente la hauteur d'un terrain en chaque point. On veut savoir dans quelle direction aller pour monter : l'opérateur gradient donne cette information.

Dans notre exemple, il s'agit d'un champ scalaire de dimension deux. Considérons indépendamment chaque direction. On peut dériver notre champ par rapport à x : si le champ est localement décroissant, on aura un nombre négatif — s'il est croissant, on aura un nombre positif. Ainsi, un vecteur d'abscisse ce nombre ira dans la direction vers laquelle le champ croît. Il en est de même selon y. Ainsi le vecteur :

${\begin{pmatrix}\displaystyle {\frac {\partial M}{\partial x}}\\\\\displaystyle {\frac {\partial M}{\partial y}}\end{pmatrix}}$

indique la direction vers laquelle le champ M est croissant. Ce vecteur est appelé vecteur gradient, et généralise la notion de dérivée.

Définition

La définition qui suit n'est ni la plus fondamentale, ni la plus générale. Elle n'est valable qu'en coordonnées cartésiennes.

Faites ces exercices : Opérateurs vectoriels.

Définition

L'application qui à un champ scalaire M associe un champ vectoriel dont la valeur en chaque point est donnée par : ${\begin{pmatrix}\displaystyle {\frac {\partial M}{\partial x}}\\\\\displaystyle {\frac {\partial M}{\partial y}}\\\\\displaystyle {\frac {\partial M}{\partial z}}\end{pmatrix}}$ est appelée opérateur gradient et noté : ${\overrightarrow {\mathrm {grad} }}$

Propriétés

On distingue les propriétés du vecteur gradient, valeur du gradient d'un champ en un point :

Propriétés du vecteur gradient

La direction du vecteur gradient indique la « pente » de plus grande inclinaison — on peut dire aussi qu'elle pointe vers les zones de valeurs plus grandes.

La norme du vecteur gradient est proportionnelle à la variation : plus celle-ci est violente, plus le vecteur est long.

L'opérateur gradient possède lui-même certaines propriétés intéressantes :

Propriétés de l'opérateur gradient

L'opérateur gradient est un opérateur linéaire.

Pour tous champs scalaires A, B, la relation suivante est vraie : $\forall \lambda ,\mu \in \mathbb {K} ,\quad {\overrightarrow {\mathrm {grad} }}\left(\lambda A+\mu B\right)=\lambda {\overrightarrow {\mathrm {grad} }}A+\mu {\overrightarrow {\mathrm {grad} }}B$

En particulier, si le champ scalaire M dépend du temps, la relation suivante est vraie : ${\frac {\partial }{\partial t}}\left({\overrightarrow {\mathrm {grad} }}M\right)={\overrightarrow {\mathrm {grad} }}\left({\frac {\partial }{\partial t}}M\right)$

L'opérateur gradient n'est invariant que par des transformations orthogonales.

Une relation parfois utile est :

Début d’un théorème

Théorème du gradient

Soit M un champ scalaire, $\scriptstyle {\vec {a}}$ et $\scriptstyle {\vec {b}}$ deux points de l'espace, L une courbe reliant ces deux points. Alors : $M({\overrightarrow {b}})-M({\overrightarrow {a}})=\int _{L}{\overrightarrow {\mathrm {grad} }}M\cdot \mathrm {d} {\overrightarrow {r}}$

Fin du théorème

Le gradient d'un champ scalaire possède une extension pour les champs vectoriels : l'opérateur jacobien, que nous ne décrirons pas ici.

Exemples

On dit d'une force qu'elle est conservative s'il existe une énergie potentielle $\scriptstyle {\mathcal {E}}_{p}$ telle que : ${\overrightarrow {F}}=-{\overrightarrow {\mathrm {grad} }}\,{\mathcal {E}}_{p}$ (parce que le travail est nul sur une courbe fermée)

Si on note V le potentiel électrique, alors, en électrostatique : ${\overrightarrow {E}}=-{\overrightarrow {\mathrm {grad} }}\,V$