Analyse vectorielle/Rotationnel

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Introduction

Il existe encore un outil vectoriel élémentaire, qui permet de mesurer la « rotation » du champ.

Définition

Pour des raisons de simplicité, on définit l'opérateur rotationnel par sa caractérisation, plutôt que par sa forme explicite.

Définition

L’opérateur rotationnel est l’application qui à tout champ vectoriel ${\vec {F}}$ associe le champ vectoriel ${\overrightarrow {\mathrm {rot} }}\,{\overrightarrow {F}}$ défini par :

$\forall {\overrightarrow {v}}\quad {\overrightarrow {\mathrm {rot} }}\,{\overrightarrow {F}}\cdot {\overrightarrow {v}}=\mathrm {div} \,\left({\overrightarrow {F}}\wedge {\overrightarrow {v}}\right)$.

Il est possible de montrer que, en coordonnées cartésiennes,

Définition équivalente

${\overrightarrow {\mathrm {rot} }}\,{\overrightarrow {F}}={\begin{pmatrix}{\frac {\partial F_{z}}{\partial y}}-{\frac {\partial F_{y}}{\partial z}}\\\\{\frac {\partial F_{x}}{\partial z}}-{\frac {\partial F_{z}}{\partial x}}\\\\{\frac {\partial F_{y}}{\partial x}}-{\frac {\partial F_{x}}{\partial y}}\end{pmatrix}}$

Interprétation physique et exemple

Champ vectoriel tournant

Comme son nom l'indique, l'opérateur rotationnel donne une mesure de la « rotation » du champ. La direction d'un vecteur de ce champ donne l’axe de rotation, son intensité la vitesse de rotation autour de cet axe. S'agissant de vecteurs, on ne connait cependant pas le centre de la rotation. Un champ vectoriel de rotationnel nul est dit « irrotationnel ».

Par exemple, en mécanique des fluides, on définit le vecteur vorticité par : ${\overrightarrow {\omega }}={\frac {1}{2}}{\overrightarrow {\mathrm {rot} }}\,{\overrightarrow {v}}$.

Considérons le champ vectoriel suivant représenté ci-contre.

Il est défini par : ${\overrightarrow {M}}\left(x,y,z\right)={\begin{pmatrix}y\\-x\\0\end{pmatrix}}$.

On vérifie immédiatement que la vorticité vaut : ${\overrightarrow {\omega }}={\begin{pmatrix}0\\0\\-1\end{pmatrix}}$ donc que le champ tourne dans le sens horaire (non-trigonométrique) autour de l’axe des z.

Autre exemple

Dans le cadre de l'électromagnétisme, le champ électrique suit la loi d'induction de Maxwell-Faraday :

${\overrightarrow {\mathrm {rot} }}\,{\overrightarrow {E}}=-{\frac {\partial {\overrightarrow {B}}}{\partial t}}$

Cela signifie que la variation du champ magnétique ${\vec {B}}$ crée un champ électrique — certains diraient un champ électrique « tournant », mais il n'y a pas de raisons particulières de coller une telle image.

Propriétés

Comme l'opérateur divergence et l'opérateur gradient, l'opérateur rotationnel est linéaire et vérifie les mêmes propriétés concernant la dérivation et les combinaisons linéaires.

Le théorème de Stokes justifie la relation suivante :

Début d’un théorème

Théorème du rotationnel

Pour toute surface S, délimitée par le contour fermé C, pour tout champ vectoriel ${\vec {M}}$, on a : $\oint _{C}{\overrightarrow {M}}\cdot \mathrm {d} {\overrightarrow {l}}=\iint _{S}{\overrightarrow {\mathrm {rot} }}\,{\overrightarrow {M}}\cdot \mathrm {d} {\overrightarrow {S}}$

Fin du théorème

Autrement dit, le flux du rotationnel d'un champ vectoriel à travers une surface égale la circulation de ce champ sur le contour de cette surface.