Analyse vectorielle/Laplacien
Introduction
modifierNous introduisons ici le premier opérateur vectoriel d'ordre 2 : l'opérateur laplacien. Il apparait naturellement dans de nombreux problèmes physiques, notamment la propagation des ondes.
Soit M un champ scalaire. Alors l’opérateur laplacien est l’application qui à M associe la divergence du gradient de M. Le laplacien est noté . Formellement :
- .
Il est linéaire puisque l'opérateur divergence et l'opérateur gradient le sont.
Expression explicite
modifierL'expression complète du laplacien dépend du système de coordonnées choisies. Prenons l'exemple utile des coordonnées cartésiennes dans l'espace de dimension 3 :
Faites ces exercices : Laplacien en coordonnées polaires. |
Extension aux champs vectoriels
modifierLe laplacien peut être appliqué à des champs vectoriels :
En coordonnées cartésiennes, en dimension 3, cela donne :
- .
C'est le plus souvent cette forme qui est utilisée.
Exemples d’utilisation en physique
modifierEn électromagnétisme, en l'absence de charges électriques, le potentiel électrique vérifie :
- .
De même, en mécanique des fluides, pour un écoulement irrotationnel et incompressible, le potentiel des vitesses vérifie :
- .
Le champ électrique vérifie dans le vide son équation de propagation :