Analyse vectorielle/Laplacien

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Laplacien
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Chapitre no 5
Leçon : Analyse vectorielle
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Introduction

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Nous introduisons ici le premier opérateur vectoriel d'ordre 2 : l'opérateur laplacien. Il apparait naturellement dans de nombreux problèmes physiques, notamment la propagation des ondes.

Il est linéaire puisque l'opérateur divergence et l'opérateur gradient le sont.

Expression explicite

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L'expression complète du laplacien dépend du système de coordonnées choisies. Prenons l'exemple utile des coordonnées cartésiennes dans l'espace de dimension 3 :


  Faites ces exercices : Laplacien en coordonnées polaires.



Extension aux champs vectoriels

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Le laplacien peut être appliqué à des champs vectoriels :

C'est le plus souvent cette forme qui est utilisée.

Exemples d’utilisation en physique

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En électromagnétisme, en l'absence de charges électriques, le potentiel électrique vérifie :

 .

De même, en mécanique des fluides, pour un écoulement irrotationnel et incompressible, le potentiel des vitesses vérifie :

 .

Le champ électrique vérifie dans le vide son équation de propagation :