Application (mathématiques)/Définitions

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Chapitre no 1
Leçon : Application (mathématiques)
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Chap. suiv. :Injection, surjection, bijection

Exercices :

Images directes et réciproques
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Dans ce chapitre, nous allons commencer par introduire la notion d'application comme une notion primitive, ensuite nous définirons une application comme une relation. Nous nous intéresserons à des types d'application, à des applications particulières et donnerons leurs propriétés.

ApplicationsModifier

Définition intuitive d’une applicationModifier


La partie   formée des couples de E × F de la forme (x, f(x)) où x parcourt l’ensemble E s’appelle le graphe de f.

Une représentation graphique de f est une représentation du graphe de f.

L'ensemble des applications de E dans F se note habituellement   ou   ; l’ensemble   des applications de E dans E se note plus simplement  .



Application et relationModifier


Exemples d’applicationsModifier

Début de l'exemple
Fin de l'exemple





Prolongements et restrictionsModifier

À partir d’une application donnée, on peut créer d’autres applications en remplaçant simplement l’ensemble de départ ou d'arrivée par un sous-ensemble ou un sur-ensemble de cet ensemble.

Restriction d’une applicationModifier


Début de l'exemple
Fin de l'exemple


Prolongements d’une applicationModifier


Remarque
Il existe en général plusieurs prolongements d’une même application.
Début de l'exemple
Fin de l'exemple


Restriction de l’ensemble d'arrivéeModifier

Soient E et F deux ensembles quelconques et f une application de E dans F. Soit F' une partie de F. Il est possible de restreindre l’ensemble d'arrivée de l’application f, pour former une application g de E dans F' qui à un élément x de E associe f(x), à condition que tout élément x de E ait une image dans F' (c'est-à-dire que l’image de f soit incluse dans F').

Dans ce cas l’application g se note  .

Extension de l’ensemble d'arrivéeModifier

Soient E et F deux ensembles quelconques et f une application de E dans F. Soit F' un ensemble contenant F. On peut toujours considérer l’application g de E dans F' qui à un élément x de E associe f(x).

Image directe, image réciproque d’une partie par une applicationModifier

Soient   et   deux ensembles et   une application.


Propriétés immédiates
  •   (il n'y a pas d'image d'élément de l’ensemble vide puisque l’ensemble vide n'a pas d'élément)
  • L'image d'un singleton est un singleton : pour tout élément x de E, f({x}) = {f(x)}.
 
  • L'image d’une partie par une application est une partie de l’ensemble d'arrivée et non un élément de cet ensemble.
  • Il ne faut pas confondre l’image d’une partie (en particulier l'image d'une application) avec l’image d’un élément.


 
  • La notation utilisée pour désigner l’image réciproque d’une partie par une application est trompeuse puisque   peut faire penser à l’application réciproque (qui n'existe que dans le cas où f est bijective). En considérant  , nous devons donc examiner si Y est une partie de l’ensemble d'arrivée auquel cas il s'agit bien d’une image réciproque, ou si Y est un élément de l’ensemble d'arrivée auquel cas il s'agit de l’image par l’application réciproque   de l'élément Y de F, ce qui exige que f soit bijective.
  • Si B se réduit à un seul élément b, alors l’ensemble   s'écrit parfois  , mais nous n'utiliserons jamais cet abus.
Propriétés immédiates
  •  
  •  , car f est une application et tous les éléments de E ont une image dans F.
  • Pour tout y de F,   est l’ensemble de tous les antécédents de y par f.
    Si f est bijective, alors  , puisque dans ce cas le seul antécédent de y est  .