Application (mathématiques)/Exercices/Injection, surjection, bijection

Injection, surjection, bijection
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Exercices no2
Leçon : Application (mathématiques)
Chapitre du cours : Injection, surjection, bijection

Exercices de niveau 11.

Exo préc. :Images directes et réciproques
Exo suiv. :Bijections canoniques
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Application (mathématiques)/Exercices/Injection, surjection, bijection
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Exercice 2-1Modifier

Soit   une application. Montrer que les propriétés suivantes sont équivalentes :

  1.   est injective ;
  2.   ;
  3.   ;
  4.  .

Exercice 2-2Modifier

Soit   une application. Montrer que les propriétés suivantes sont équivalentes :

  1.   est surjective ;
  2.   ;
  3.  .

Exercice 2-3Modifier

Soient  ,   et   trois applications. Démontrer que :

  1. si   et   sont injectives alors   est injective ;
  2. si   et   sont surjectives alors   est surjective ;
  3. si   est injective alors   est injective ;
  4. si   est surjective alors   est surjective ;
  5. si   est injective et si   est surjective alors   est injective ;
  6. si   est surjective et si   est injective alors   est surjective ;
  7.   et   sont bijectives si et seulement si  ,   et   le sont.

Exercice 2-4Modifier

Soit   une injection. On suppose  .

  1. Montrer qu'il existe une application   telle que  .
  2. En déduire que :
    1. pour toute application  , il existe une application   telle   ;
    2.   est simplifiable à gauche, c.-à-d.
        ;
    3. si   et s'il existe une injection de   dans  , alors il existe une surjection de   dans  .
  3. Qu'en est-il si   ?
  4. Montrer que réciproquement, toute application simplifiable à gauche est injective.

Exercice 2-5Modifier

Montrer qu'une application   est surjective si et seulement si elle est simplifiable à droite, c.-à-d.

 .

Exercice 2-6Modifier

Étant données deux applications  , soit  . Montrer que :

  1. si   et   sont injectives alors   l'est ;
  2. la réciproque est vraie si   et   sont non vides ;
  3. si   et   sont surjectives alors   l'est ;
  4. la réciproque est vraie si   et   sont non vides.

Exercice 2-7Modifier

Soient  ,   et   trois ensembles.

  1. Montrer que si   alors l'application   est surjective, mais non injective en général.
  2. Qu'en est-il si   ?
  3. Soit une application  . On lui associe une application   en posant :  . Vérifier que   (pour la notation  , cf. exercice précédent).
  4. A-t-on :
    1.   surjective   surjective ?
    2.   surjective   surjective ?
    3.   injective   surjective ?
    4.   injective   injective ?

Exercice 2-8Modifier

Soient   et   deux parties d'un ensemble   et

 .

Donner une condition nécessaire et suffisante sur   et   pour que   soit :

  1. injective ;
  2. surjective ;
  3. bijective.

Exercice 2-9Modifier

Soit  .

  1.   est-elle injective ? surjective ?
  2. Montrer que  .
  3. Montrer que  , restriction de  , est une bijection.
  4. Retrouver ce résultat en étudiant les variations de  .

Exercice 2-10Modifier

Soient  ,   et  . Démontrer que :

  1.   ;
  2.  . Pourquoi faut-il supposer   ?

Exercice 2-11Modifier

Soit  . On définit   par :  .

Montrer que   est injective si et seulement si   est surjective.

Exercice 2-12Modifier

Soit   une famille de sous-ensembles de  .

On considère l'application  .

À quelle condition   est-elle injective ? surjective ? En général, quelle est son image ?