Application linéaire/Exercices/Projecteurs, symétries

Projecteurs, symétries
Image logo représentative de la faculté
Exercices no3
Leçon : Application linéaire
Chapitre du cours : Projecteurs, symétries

Exercices de niveau 14.

Exo préc. :Noyau et image
Exo suiv. :Rang
Icon falscher Titel.svg
En raison de limitations techniques, la typographie souhaitable du titre, « Exercice : Projecteurs, symétries
Application linéaire/Exercices/Projecteurs, symétries
 », n'a pu être restituée correctement ci-dessus.



Exercice 3-1Modifier

Donner une base de   constituée de projecteurs.

Exercice 3-2Modifier

  1. Soient   un espace vectoriel sur   (ou plus généralement, sur un corps de caractéristique différente de 2),   une symétrie,   un vecteur de  , et   sa décomposition suivant la somme directe  . Exprimer   et   en fonction de   et  .
  2. Soient   tel que  , et  . Déduire de la question précédente qu'il existe un unique couple de fonctions   de somme   tel que   soit paire et   impaire, et l'expliciter.

Exercice 3-3Modifier

Soit   un endomorphisme d'un  -espace vectoriel  . On rappelle (voir cet exercice) que si

 ,

alors   est une homothétie.

En déduire que si   commute avec tous les projecteurs de  , alors   est une homothétie.

Exercice 3-4Modifier

Dans   muni de sa base canonique  , on considère les trois vecteurs  ,   et  , le plan   d'équation   et la droite   engendrée par  .

    1. Montrer que   et   sont supplémentaires.
    2. En déduire que le triplet   est une base de  .
    3. Donner la matrice de passage   de la base   à la base   et calculer son inverse.
  1. On considère la projection   sur le plan   de direction  . Donner la matrice de   dans la base  , puis dans la base  .
  2. Soient   le plan engendré par   et  ,   la droite vectorielle engendrée par  , et   la projection sur   de direction  .
    1. Calculer   et  .
    2. Donner la matrice de   et de   dans la base  .
    3. En déduire que   est une projection, dont on précisera le noyau, l'image et le rang.

Exercice 3-5Modifier

Soient   et  . On désigne par  , la base canonique de  .

  1. Donner une base   de   et une base   de  . Montrer que   puis, que   est une base de  .
  2. Soit   la projection de   sur   parallèlement à  . Déterminer   puis  . Vérifier que  .
  3. Soit   la symétrie de   par rapport à   parallèlement à  . Déterminer   puis  . Vérifier que  ,   et  .

Exercice 3-6Modifier

Soient   l'espace euclidien usuel et  .

  1. Montrer que   est linéaire et donner sa matrice dans la base canonique de  .
  2. Donner une base de son noyau et une base de son image.
  3. Donner une base du supplémentaire orthogonal de  .
  4. Montrer qu'il existe une base orthonormée de   dans laquelle la matrice de   est  .