Application linéaire/Exercices/Projecteurs, symétries
Exercice 3-1Modifier
Donner une base de constituée de projecteurs.
Solution
Une solution malheureusement difficile à intuiter : la base convient.
Exercice 3-2Modifier
- Soient un espace vectoriel sur (ou plus généralement, sur un corps de caractéristique différente de 2), une symétrie, un vecteur de , et sa décomposition suivant la somme directe . Exprimer et en fonction de et .
- Soient tel que , et . Déduire de la question précédente qu'il existe un unique couple de fonctions de somme tel que soit paire et impaire, et l'expliciter.
Solution
- et avec , donc , , et .
- On prend pour l'espace des fonctions de dans et pour l'application (linéaire et involutive) qui à toute fonction associe la fonction . L'unique solution est donnée par et .
Exercice 3-3Modifier
Soit un endomorphisme d'un -espace vectoriel . On rappelle (voir cet exercice) que si
- ,
alors est une homothétie.
En déduire que si commute avec tous les projecteurs de , alors est une homothétie.
Solution
Soit et soit un projecteur parallèlement à .
Par hypothèse, donc , ce qui permet d'appliquer le rappel.
Exercice 3-4Modifier
Dans muni de sa base canonique , on considère les trois vecteurs , et , le plan d'équation et la droite engendrée par .
-
- Montrer que et sont supplémentaires.
- En déduire que le triplet est une base de .
- Donner la matrice de passage de la base à la base et calculer son inverse.
- On considère la projection sur le plan de direction . Donner la matrice de dans la base , puis dans la base .
- Soient le plan engendré par et , la droite vectorielle engendrée par , et la projection sur de direction .
- Calculer et .
- Donner la matrice de et de dans la base .
- En déduire que est une projection, dont on précisera le noyau, l'image et le rang.
Solution
-
- .
- et sont linéairement indépendants et appartiennent à .
- . , et donc .
- donc .
-
- et donc et (on peut aussi déduire le second du premier : ).
- et .
- est donc la projection (de rang ) sur la droite , parallèlement au plan .
Exercice 3-5Modifier
Soient et . On désigne par , la base canonique de .
- Donner une base de et une base de . Montrer que puis, que est une base de .
- Soit la projection de sur parallèlement à . Déterminer puis . Vérifier que .
- Soit la symétrie de par rapport à parallèlement à . Déterminer puis . Vérifier que , et .
Solution
- avec et donc . Ces deux vecteurs sont non colinéaires donc forment une base de .
avec donc . Ce vecteur est non nul donc forme une base de .
donc . Par ailleurs, . Donc .
Le triplet est une base de puisqu'il est une juxtaposition de bases de sous-espaces supplémentaires. - , et donc . est caractérisée par :
et
donc . On vérifie par le calcul que , ce qui est normal puisque . - Si avec et alors et , donc
, et .
On vérifie par le calcul que et , ce qui est normal puisque et .
Exercice 3-6Modifier
Soient l'espace euclidien usuel et .
- Montrer que est linéaire et donner sa matrice dans la base canonique de .
- Donner une base de son noyau et une base de son image.
- Donner une base du supplémentaire orthogonal de .
- Montrer qu'il existe une base orthonormée de dans laquelle la matrice de est .
Solution
- Soit . On a donc est linéaire, de matrice dans la base canonique.
- est la droite dirigée par le vecteur et est la droite dirigée par le vecteur .
- Ces deux vecteurs sont orthogonaux donc le supplémentaire orthogonal de est (dont on vient de donner une base). ( est donc la projection orthogonale sur la droite engendrée par .)
- , et , donc une solution est .