Application linéaire/Rang

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E, F et G sont des K-espaces vectoriels de dimension quelconque (finie ou infinie), sauf dans le dernier théorème.

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Isomorphisme fondamental

Début d’un théorème

Théorème

Soit $u\in \operatorname {L} (E,F)$. Un sous-espace vectoriel $G$ de $E$ est supplémentaire de $\operatorname {Ker} u$ si et seulement si la restriction de $u$, de $G$ dans $\operatorname {Im} u$, est un isomorphisme.

Fin du théorème

Démonstration

Notons $u_{G}:G\to \operatorname {Im} u$ la restriction de $u$.

• $\operatorname {Ker} u_{G}=G\cap \operatorname {Ker} u$, donc $u_{G}$ est injective si et seulement si $G\cap \operatorname {Ker} u=\{0\}$.
• $u_{G}$ est surjective si et seulement si $u(E)\subset u(G)$, c'est-à-dire : $\forall x\in E\quad \exists y\in G\quad u(x)=u(y)$, ou encore $x-y\in \operatorname {Ker} u$, ce qui équivaut à $E=G+\operatorname {Ker} u$.

 

Rang d'une application linéaire

Définition

Définition

Soit $u\in \operatorname {L} (E,F)$. Le rang de u, noté rg(u), est la dimension de Im(u).

Début d’un théorème

Théorème

Soit $u\in \operatorname {L} (E,F)$.

• $\forall v\in \operatorname {L} (F,G){\text{ bijective }},\mathrm {rg} (v\circ u)=\mathrm {rg} (u)$
• $\forall v\in \operatorname {L} (G,E){\text{ bijective }},\mathrm {rg} (u\circ v)=\mathrm {rg} (u)$

La composition par un isomorphisme laisse le rang invariant.

Fin du théorème

Théorème du rang

Le théorème du rang est un théorème-clé de la manipulation des applications linéaires. Il est indispensable de le connaître parfaitement.

Début d’un théorème

Théorème du rang

Soit $u\in \operatorname {L} (E,F)$.

$\dim E=\dim(\operatorname {Ker} u)+\dim(\operatorname {Im} u)$

Fin du théorème

Démonstration

D'après l'« isomorphisme fondamental » (voir supra), la dimension de tout supplémentaire G de $\operatorname {Ker} u$ dans E est égale à $\dim(\operatorname {Im} u)$. À l'aide du théorème sur la dimension d'une somme directe, on en déduit que $\dim(\operatorname {Ker} u)+\dim(\operatorname {Im} u)=\dim(\operatorname {Ker} u)+\dim G=\dim E$.

 

Remarque

Pour toute application linéaire $u:K^{p}\to K^{q}$ (ou $u:E\to F$ avec $\dim E=p$ et $\dim F=q$), on a donc :

• si $p<q$, $u$ n'est pas surjective (car $\dim(\operatorname {Im} u)\leq p$) ;
• si $p>q$, $u$ n'est pas injective (car $\dim(\operatorname {Ker} u)\geq p-q$).

Caractérisations de la bijectivité

Début d’un théorème

Théorème

On suppose $\dim(E)=\dim(F)=n$ (un entier) et $u\in \operatorname {L} (E,F)$.

$u$ est un isomorphisme $\iff$ rg(u) = n $\iff$ Ker(u) = {0}.

Fin du théorème

Remarque

Les hypothèses de ce théorème sont vérifiées en particulier si $\dim(E)=n$ et $u\in \operatorname {L} (E)$.