Applications techniques des nombres complexes/Annexe/Utilisation

Pour les mathématiques, nous avons vu que les nombres complexes sont utilisés pour résoudre certaines équations et pour comprendre certains aspects des transformations géométriques. Ils sont en plus utilisés pour l'étude des polynômes, pour l’analyse complexe ainsi que pour l'étude des fractales.

Néanmoins, ce n’est pas en mathématiques que les nombres complexes sont le plus utilisés, mais en sciences physiques et plus particulièrement en électromagnétisme et en mécanique des fluides. En effet, les physiciens doivent souvent travailler avec des fonctions sinusoïdales, pour simplifier les calculs : ils utilisent la forme exponentielle pour faire les calculs, et à la dernière ligne rappellent que seule la partie réelle est importante. Il faut alors faire attention puisque les physiciens ont noté $j$ le nombre imaginaire (le $i$ en mathématiques) parce que $i$ (ou $I$) désigne déjà l'intensité dans leurs notations.

La mécanique quantique est la dernière branche de la physique à s'être appropriée les nombres complexes aussi pour simplifier les équations lorsque le nombre de dimensions est trop important (jusqu'à 11 dimensions).

Cas des phénomènes périodiques

Un phénomène périodique se représente par une forme de type

$\mathrm {A} (t)=\mathrm {A} _{0}\cdot \cos(\omega t+\varphi )$

où

• A₀ est l'amplitude du phénomène ;
• ω est la pulsation du phénomène, en rad/s ;
• φ est la phase à l'origine, en rad.

On peut donner une forme complexe à cette expression

${\underline {\mathrm {A} }}(t)=\mathrm {A} _{0}\cdot e^{i(\omega t+\varphi )}=\mathrm {A} _{0}\cdot e^{i\omega t}\cdot e^{i\varphi }$

ou encore avec la forme trigonométrique

${\underline {\mathrm {A} }}(t)=\mathrm {A} _{0}\cdot \left(\cos(\omega t+\varphi )+i\sin(\omega t+\varphi )\right)$

sachant que seule la partie réelle de A a un sens physique :

A = Re(A).

Cette notation permet de simplifier les opérations de dérivation et d'intégration :

${\underline {\mathrm {A} }}'(t)=\left(\mathrm {A} _{0}\cdot e^{i\omega t}\cdot e^{i\varphi }\right)'=\mathrm {A} _{0}\cdot e^{i\varphi }\cdot (e^{i\omega t})'=\mathrm {A} _{0}\cdot e^{i\varphi }\cdot i\omega \cdot e^{i\omega t}$

soit

${\underline {\mathrm {A} }}'(t)=i\omega \cdot {\underline {\mathrm {A} }}(t)$.

De la même manière, on obtient une primitive en divisant par iω.

Si tous les phénomènes étudiés ont la même pulsation ω, on a alors une dépendance temporelle $e^{i\omega t}$ identique pour toutes les grandeurs, qui se met en facteur. On peut donc ne s'intéresser qu’à la partie spécifique $\mathrm {A} _{0}\cdot e^{i\varphi }$, qui peut se représenter par un vecteur dans le plan complexe. Voir Vecteur de Fresnel.

Cas des ondes

De même, un phénomène ondulatoire se représente par une forme de type

$\mathrm {A} ({\vec {x}},t)=\mathrm {A} _{0}\cdot \cos(\omega \cdot t-{\vec {k}}\cdot {\vec {x}}+\varphi )$

où

• ${\vec {k}}$ est le vecteur d'onde, dont la norme est en rad⋅m^-1 ;
• ${\vec {x}}$ est le vecteur position, dont la norme est en m.

Ceci peut se représenter par

${\underline {\mathrm {A} }}(x,t)=\mathrm {A} _{0}\cdot e^{i(\omega \cdot t-{\vec {k}}\cdot {\vec {x}}+\varphi )}=\mathrm {A} _{0}\cdot e^{i\omega \cdot t}\cdot e^{-i{\vec {k}}\cdot {\vec {x}}}\cdot e^{i\varphi }$.