Calcul avec les nombres complexes .
En raison de limitations techniques, la typographie souhaitable du titre, «
Exercice : Exercices sur la forme algébriqueApplications techniques des nombres complexes/Exercices/Exercices sur la forme algébrique », n'a pu être restituée correctement ci-dessus.
Pour répondre 0 (zéro) à une question , merci de remplir le champ par un O (lettre O) et non pas par un chiffre 0.
Donner les parties réelles et imaginaires de ces nombres complexes sous forme algébrique.
Additionner les nombres complexes z₁ et z₂ donnés sous forme algébrique pour obtenir leur somme z₁ + z₂ sous forme algébrique.
Indication : rassembler les termes qui contiennent des i , mettre i en facteur et simplifier.
La soustraction se fait de la même manière que l'addition.
Attention quand même car le "moins" se distribue à l’ensemble du nombre complexe que l’on soustrait.
Soit les nombres complexes
z
=
2
−
3
i
{\displaystyle z=2-3i}
z
′
=
−
4
+
i
{\displaystyle z'=-4+i}
Écrire les nombres complexes suivants sous forme algébrique.
Nous allons décomposer
z
1
{\displaystyle z_{1}}
z
2
{\displaystyle z_{2}}
Illustration des exemples Début de l'exemple
Fin de l'exemple
modifier
2. Dans le plan complexe d'unité graphique 1 cm
Soit
z
=
3
−
2
i
5
+
i
{\displaystyle z={\frac {3-2i}{5+i}}}
z
′
=
3
+
2
i
5
−
i
{\displaystyle z'={\frac {3+2i}{5-i}}}
1. Vérifier que
z
′
=
z
¯
{\displaystyle z'={\bar {z}}}
Solution
Faisons le calcul de
z
¯
{\displaystyle {\bar {z}}}
z
¯
=
(
3
−
2
i
5
+
i
)
¯
=
3
−
2
i
¯
5
+
i
¯
=
3
+
2
i
5
−
i
=
z
′
{\displaystyle {\begin{aligned}{\bar {z}}&={\overline {\left({\frac {3-2i}{5+i}}\right)}}\\&={\frac {\overline {3-2i}}{\overline {5+i}}}\\&={\frac {3+2i}{5-i}}=z'\end{aligned}}}
2. Démontrer que
z
+
z
′
{\displaystyle z+z'}
z
−
z
′
{\displaystyle z-z'}
3. Dans le plan complexe d'unité graphique 1 cm
On donne
z
1
=
−
2
+
3
i
{\displaystyle z_{1}=-2+3i}
z
2
=
3
+
i
{\displaystyle z_{2}=3+i}
Les fractions doivent être entrées complètement simplifiées à l'aide du slash /.
On donne
z
1
=
−
3
+
2
i
{\displaystyle z_{1}=-3+2i}
z
2
=
3
−
i
{\displaystyle z_{2}=3-i}
Les fractions doivent être entrées complètement simplifiées à l'aide du slash /.
On donne
z
1
=
−
5
+
2
i
{\displaystyle z_{1}=-5+2i}
z
2
=
3
7
−
i
{\displaystyle z_{2}={\frac {3}{7}}-i}
On donnera les nombres complexes sous forme algébrique, les fractions devant être simplifiées.
a)
z
1
−
z
2
{\displaystyle z_{1}-z_{2}}
Solution
z
1
−
z
2
=
−
5
+
2
i
−
(
3
7
−
i
)
=
−
5
+
2
i
−
3
7
+
i
=
−
38
7
+
3
i
{\displaystyle {\begin{aligned}z_{1}-z_{2}&=-5+2i-({\frac {3}{7}}-i)\\&=-5+2i-{\frac {3}{7}}+i\\&=-{\frac {38}{7}}+3i\end{aligned}}}
b)
z
1
×
z
2
{\displaystyle z_{1}\times z_{2}}
Solution
z
1
×
z
2
=
(
−
5
+
2
i
)
×
(
3
7
−
i
)
=
−
15
7
+
5
i
+
6
7
i
+
2
=
−
15
7
+
14
7
+
35
7
i
+
6
7
i
=
−
1
7
+
41
7
i
{\displaystyle {\begin{aligned}z_{1}\times z_{2}&=(-5+2i)\times ({\frac {3}{7}}-i)\\&=-{\frac {15}{7}}+5i+{\frac {6}{7}}i+2\\&=-{\frac {15}{7}}+{\frac {14}{7}}+{\frac {35}{7}}i+{\frac {6}{7}}i\\&=-{\frac {1}{7}}+{\frac {41}{7}}i\end{aligned}}}
c)
|
z
1
|
{\displaystyle |z_{1}|}
Solution
|
z
1
|
=
|
−
5
+
2
i
|
=
(
−
5
)
2
+
2
2
=
25
+
4
=
29
{\displaystyle {\begin{aligned}|z_{1}|&=|-5+2i|\\&={\sqrt {(-5)^{2}+2^{2}}}\\&={\sqrt {25+4}}\\&={\sqrt {29}}\end{aligned}}}
d)
z
1
z
2
{\displaystyle {\frac {z_{1}}{z_{2}}}}
Solution
z
1
z
2
=
−
5
+
2
i
3
7
−
i
=
(
−
5
+
2
i
)
(
3
7
+
i
)
(
3
7
−
i
)
(
3
7
+
i
)
=
−
15
7
−
5
i
+
6
7
i
−
2
9
49
+
1
=
−
29
7
−
29
7
i
58
49
=
−
29
7
×
49
58
−
29
7
i
×
49
58
=
−
7
2
−
7
2
i
{\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {z_{1}}{z_{2}}}&={\frac {-5+2i}{{\frac {3}{7}}-i}}\\&={\frac {(-5+2i)({\frac {3}{7}}+i)}{({\frac {3}{7}}-i)({\frac {3}{7}}+i)}}\\&={\frac {-{\frac {15}{7}}-5i+{\frac {6}{7}}i-2}{{\frac {9}{49}}+1}}\\&={\frac {-{\frac {29}{7}}-{\frac {29}{7}}i}{\frac {58}{49}}}\\&=-{\frac {29}{7}}\times {\frac {49}{58}}-{\frac {29}{7}}i\times {\frac {49}{58}}\\&=-{\frac {7}{2}}-{\frac {7}{2}}i\end{aligned}}}
e)
z
1
3
{\displaystyle z_{1}^{3}}
Solution
z
1
3
=
(
−
5
+
2
i
)
3
=
(
−
5
)
3
+
3
×
(
−
5
)
2
×
2
i
+
3
×
−
5
×
(
2
i
)
2
+
(
2
i
)
3
=
−
125
+
150
i
+
60
−
8
i
=
−
65
+
142
i
{\displaystyle {\begin{aligned}z_{1}^{3}&=(-5+2i)^{3}\\&=(-5)^{3}+3\times (-5)^{2}\times 2i+3\times -5\times (2i)^{2}+(2i)^{3}\\&=-125+150i+60-8i\\&=-65+142i\end{aligned}}}
Avertissement : Petit rappel :
(
a
+
b
)
3
=
a
3
+
3
a
2
b
+
3
a
b
2
+
b
3
{\displaystyle (a+b)^{3}=a^{3}+3a^{2}b+3ab^{2}+b^{3}}
Mettre sous la forme
a
+
i
.
b
(
a
,
b
∈
R
)
{\displaystyle a+i.b(a,b\in \mathbb {R} )}
a)
3
+
6
i
3
−
4
i
{\displaystyle {\frac {3+6i}{3-4i}}}
Solution
3
+
6
i
3
−
4
i
=
(
3
+
6
i
)
(
3
+
4
i
)
(
3
−
4
i
)
(
3
+
4
i
)
=
9
+
12
i
+
18
i
−
24
9
+
16
=
−
15
+
30
i
25
=
−
3
5
+
6
5
i
{\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {3+6i}{3-4i}}&={\frac {(3+6i)(3+4i)}{(3-4i)(3+4i)}}\\&={\frac {9+12i+18i-24}{9+16}}\\&={\frac {-15+30i}{25}}\\&=-{\frac {3}{5}}+{\frac {6}{5}}i\end{aligned}}}
b)
(
1
+
i
2
−
i
)
2
+
3
+
6
i
3
−
4
i
{\displaystyle \left({\frac {1+i}{2-i}}\right)^{2}+{\frac {3+6i}{3-4i}}}
Solution
(
1
+
i
2
−
i
)
2
+
3
+
6
i
3
−
4
i
=
(
(
1
+
i
)
(
2
+
i
)
(
2
−
i
)
(
2
+
i
)
)
2
+
3
+
6
i
3
−
4
i
=
(
2
+
i
+
2
i
−
1
4
+
1
)
2
+
3
+
6
i
3
−
4
i
=
(
1
+
3
i
5
)
2
+
3
+
6
i
3
−
4
i
=
1
25
+
6
25
i
−
9
25
−
3
5
+
6
5
i
=
−
8
25
+
6
25
i
−
15
25
+
30
25
i
=
−
23
25
+
36
25
i
{\displaystyle {\begin{aligned}\left({\frac {1+i}{2-i}}\right)^{2}+{\frac {3+6i}{3-4i}}&=\left({\frac {(1+i)(2+i)}{(2-i)(2+i)}}\right)^{2}+{\frac {3+6i}{3-4i}}\\&=\left({\frac {2+i+2i-1}{4+1}}\right)^{2}+{\frac {3+6i}{3-4i}}\\&=\left({\frac {1+3i}{5}}\right)^{2}+{\frac {3+6i}{3-4i}}\\&={\frac {1}{25}}+{\frac {6}{25}}i-{\frac {9}{25}}-{\frac {3}{5}}+{\frac {6}{5}}i\\&=-{\frac {8}{25}}+{\frac {6}{25}}i-{\frac {15}{25}}+{\frac {30}{25}}i\\&=-{\frac {23}{25}}+{\frac {36}{25}}i\end{aligned}}}
c)
2
+
5
i
1
−
i
+
2
−
5
i
1
+
i
{\displaystyle {\frac {2+5i}{1-i}}+{\frac {2-5i}{1+i}}}
Solution
2
+
5
i
1
−
i
+
2
−
5
i
1
+
i
=
2
×
R
e
(
2
+
5
i
1
−
i
)
{\displaystyle {\frac {2+5i}{1-i}}+{\frac {2-5i}{1+i}}=2\times Re({\frac {2+5i}{1-i}})}
Avertissement : Petit rappel :
z
+
z
¯
=
2
×
R
e
(
z
)
{\displaystyle z+{\bar {z}}=2\times Re(z)}
avec Re
=
{\displaystyle =}
Réel
2
+
5
i
1
−
i
=
(
2
+
5
i
)
(
1
+
i
)
(
1
−
i
)
(
1
+
i
)
=
−
3
2
+
7
2
i
{\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {2+5i}{1-i}}&={\frac {(2+5i)(1+i)}{(1-i)(1+i)}}\\&=-{\frac {3}{2}}+{\frac {7}{2}}i\end{aligned}}}
2
+
5
i
1
−
i
+
2
−
5
i
1
+
i
=
2
×
−
3
2
=
−
3
{\displaystyle {\frac {2+5i}{1-i}}+{\frac {2-5i}{1+i}}=2\times -{\frac {3}{2}}=-3}
d)
5
+
2
i
1
−
2
i
{\displaystyle {\frac {5+2i}{1-2i}}}
Solution
5
+
2
i
1
−
2
i
=
(
5
+
2
i
)
(
1
+
2
i
)
(
1
−
2
i
)
(
1
+
2
i
)
=
5
+
10
i
+
2
i
−
4
1
+
4
=
1
5
+
12
5
i
{\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {5+2i}{1-2i}}&={\frac {(5+2i)(1+2i)}{(1-2i)(1+2i)}}\\&={\frac {5+10i+2i-4}{1+4}}\\&={\frac {1}{5}}+{\frac {12}{5}}i\end{aligned}}}
e)
(
−
1
2
+
i
3
2
)
3
{\displaystyle \left(-{\frac {1}{2}}+i{\frac {\sqrt {3}}{2}}\right)^{3}}
Solution
(
−
1
2
+
i
3
2
)
3
=
(
−
1
2
)
3
+
3
×
(
−
1
2
)
2
×
i
3
2
+
3
×
−
1
2
×
(
i
3
2
)
2
+
(
i
3
2
)
3
=
−
1
8
+
3
i
3
8
+
9
8
−
3
i
3
8
=
1
{\displaystyle {\begin{aligned}\left(-{\frac {1}{2}}+i{\frac {\sqrt {3}}{2}}\right)^{3}&=\left(-{\frac {1}{2}}\right)^{3}+3\times \left(-{\frac {1}{2}}\right)^{2}\times {\frac {i{\sqrt {3}}}{2}}+3\times -{\frac {1}{2}}\times \left({\frac {i{\sqrt {3}}}{2}}\right)^{2}+\left({\frac {i{\sqrt {3}}}{2}}\right)^{3}\\&=-{\frac {1}{8}}+{\frac {3i{\sqrt {3}}}{8}}+{\frac {9}{8}}-{\frac {3i{\sqrt {3}}}{8}}\\&=1\end{aligned}}}
f)
(
1
+
i
)
9
(
1
−
i
)
7
{\displaystyle {\frac {(1+i)^{9}}{(1-i)^{7}}}}
Solution
(
1
+
i
)
9
(
1
−
i
)
7
=
1
+
i
1
−
i
×
(
1
+
i
)
8
(
1
−
i
)
6
=
i
×
(
1
+
i
)
8
(
1
−
i
)
6
=
i
7
×
(
1
+
i
)
2
=
i
7
×
2
i
=
2
{\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {(1+i)^{9}}{(1-i)^{7}}}&={\frac {1+i}{1-i}}\times {\frac {(1+i)^{8}}{(1-i)^{6}}}\\&=i\times {\frac {(1+i)^{8}}{(1-i)^{6}}}\\&=i^{7}\times (1+i)^{2}\\&=i^{7}\times 2i\\&=2\end{aligned}}}
