1. Calculons
pour les deux valeurs proposées :
et
Par conséquent
et
sont des zéros du polynôme P. Ceci implique par définition que le polynôme peut s'écrire, pour tout
, sous la forme
Or dans
l'équation
admet toujours 4 solutions, P s'écrit donc nécessairement sous la forme :
Par conséquent par identification, a=1, c=63/3=21 et b=-18/3=-6 d'où :
2. Calcul des autres zéros :
Calcul du discriminant
.
Pour
, l'équation
admet deux solutions complexes conjuguées :
et
et
et
admet donc comme solutions
3.
Si un point se trouve sur un cercle de centre (a,b) et de rayon c dans un espace orthonormé, il est solution de l'équation :
Par conséquent tous les points A,B,C,D de coordonnées respectives
doivent être solution de la même équation.
En insérant les coordonnées de ces points A, B et C dans l'équation on obtient un système simple à résoudre :
Des deux premières équations on déduit que b=0.
Par soustraction on obtient immédiatement a,
et donc
. Le point D satisfait aussi à l'équation, il n'existe donc qu'un cercle passant par ces points.
4.
L'angle formé par
et
est de
, et en outre les normes sont identiques, c’est là, la définition d'un triangle équilatéral.