Approche géométrique des nombres complexes/Exercices/Divers

Exercice 8-1

Déterminer les nombres complexes $z$ tels que $z^{2}$ et $z^{6}$ soient conjugués.

Solution

Si $r>0$ et $\theta \in \mathbb {R}$, on a $r^{6}=r^{2}$ et $6\theta \equiv -2\theta {\bmod {2\pi }}$ si et seulement si $r=1$ et $8\theta \equiv 0{\bmod {2\pi }}$. Les solutions sont donc $0$ et les 8 racines huitièmes de l'unité : $\operatorname {e} ^{k\mathrm {i} \pi /4},\quad k\in \{0,\pm 1,\pm 2,\pm 3,4\}$.

 

Exercice 8-2

Soit $(z_{n})_{n\in \mathbb {N} }$ la suite définie par :

${\begin{cases}z_{0}=0\\z_{1}=\mathrm {i} \\z_{n}=(1+\mathrm {i} )z_{n-1}-\mathrm {i} z_{n-2}\qquad n\geqslant 2.\end{cases}}$

1°  Exprimer $z_{n}-z_{n-1}$ en fonction de $n$.

2°  Établir la relation :

$z_{n}={\frac {1-i}{2}}\left(\mathrm {i} ^{n}-1\right)$.

3°  Démontrer que la suite est périodique et donner sa période.

Solution

1. $z_{n}-z_{n-1}=\mathrm {i} \left(z_{n-1}-z_{n-2}\right)$ donc $z_{n}-z_{n-1}=\mathrm {i} ^{n-1}\left(z_{1}-z_{0}\right)=\mathrm {i} ^{n}$.
2. $z_{n}=z_{n}-z_{n-1}+z_{n-1}-z_{n-2}+\dots +z_{1}-z_{0}+z_{0}=\mathrm {i} ^{n}+\mathrm {i} ^{n-1}+\dots +\mathrm {i} +0=\mathrm {i} {\frac {\mathrm {i} ^{n}-1}{\mathrm {i} -1}}={\frac {1-i}{2}}\left(\mathrm {i} ^{n}-1\right)$.
3. La suite est donc 4-périodique, comme la suite des puissances de $\mathrm {i}$.

 

Exercice 8-3

Soit : $a,\,b,$ réels fixés, $p=a+b\mathrm {i}$.

Résoudre dans $\mathbb {C}$ : $z^{2}-2pz+{\overline {p}}^{2}=0$.

Exprimer les solutions en fonction de $a$ et $b$.

Déterminer $p$ tel que l'une au moins des solutions soit réelle.

Solution

L'équation équivaut à $(z-p)^{2}=p^{2}-{\overline {p}}^{2}=4\mathrm {i} ab$. Si $ab\geq 0$, les deux solutions sont donc $p\pm 2{\sqrt {ab}}\operatorname {e} ^{\mathrm {i} \pi /4}=a+b\mathrm {i} \pm {\sqrt {2ab}}(1+\mathrm {i} )$ et si $ab\leq 0$, les deux solutions sont $p\pm 2{\sqrt {-ab}}\operatorname {e} ^{-\mathrm {i} \pi /4}=a+b\mathrm {i} \pm {\sqrt {-2ab}}(1-\mathrm {i} )$.

L'une des deux solutions est réelle si et seulement si $b=\pm {\sqrt {2|ab|}}$, c'est-à-dire $b=0$ ou $b=\pm 2a$.

 

Exercice 8-4

1°  Soit $u=5\left({\sqrt {2+{\sqrt {2}}}}-\mathrm {i} {\sqrt {2-{\sqrt {2}}}}\right)$.

a)  Calculer $u^{2}$.

b)  Calculer le module et un argument de $u$.

2°  Soit $z=\rho \left(\cos \theta +\mathrm {i} \sin \theta \right)$.

Déterminer l'ensemble des $\left(\rho ,\theta \right)\in \mathbb {R} _{+}^{*}\times \left[0,2\pi \right[$ tels que :

a)  $uz$ soit réel ;

b)  $uz$ soit imaginaire pur ;

c)  $|uz|=15$.

Préciser, dans chaque cas, l'ensemble décrit par l'image de $z$ dans le plan complexe.

Solution

1°  a)  $u^{2}=25\left(2+{\sqrt {2}}-\left(2-{\sqrt {2}}\right)-2\mathrm {i} {\sqrt {2^{2}-{\sqrt {2}}^{2}}}\right)=50{\sqrt {2}}\left(1-\mathrm {i} \right)$.

b)  $|u|=50{\sqrt {2}}{\sqrt {2}}=100$ et ${\frac {u}{|u|}}={\frac {1-\mathrm {i} }{\sqrt {2}}}=\operatorname {e} ^{-\mathrm {i} \pi /4}$.

2°  a)  $uz\in \mathbb {R} \Leftrightarrow -\pi /4+\theta \in \pi \mathbb {Z} \Leftrightarrow \theta \in \{\pi /4,5\pi /4\}$. L'image de $z$ décrit la droite $y=x$ (privée de l'origine).

b)  $uz\in \mathrm {i} \mathbb {R} \Leftrightarrow -\pi /4+\theta \in \pi /2+\pi \mathbb {Z} \Leftrightarrow \theta \in \{3\pi /4,7\pi /4\}$. L'image de $z$ décrit la droite $y=-x$ (privée de l'origine).

c)  $|uz|=15\Leftrightarrow |z|={\frac {15}{100}}\Leftrightarrow \rho =0{,}15$. L'image de $z$ décrit le cercle de centre $O$ et de rayon $0{,}15$.