Approfondissement sur les suites numériques/Exercices/Suites arithmético-géométriques

Exercice de cours
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Exercices no1
Leçon : Approfondissement sur les suites numériques
Chapitre du cours : Suites arithmético-géométriques

Exercices de niveau 14.

Exo préc. :Sommaire
Exo suiv. :Récurrence affine d'ordre 2
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Approfondissement sur les suites numériques/Exercices/Suites arithmético-géométriques
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Exercice 1Modifier

Soient   et   la suite définie par :  .
Exprimer   en fonction de n et   et montrer que cette suite est convergente et monotone.

Exercice 2Modifier

On mesure l'évolution d'une quantité   d'un produit à intervalles de temps réguliers   (  est la quantité de départ), sachant que sur chaque unité de temps on perd une proportion   (avec  ) de produit et qu'on en injecte une quantité fixe  .

  1. Montrer que  .
  2. Si la suite   est convergente, quelle est sa limite ?
  3. On pose  . Montrer que la suite   est géométrique. Exprimer   en fonction de  .
  4. En déduire que la suite   est convergente, et retrouver le résultat de la question 2.
  5. Un gouvernement R décide d'envoyer des soldats en « opération militaire spéciale » dans un pays U ; il constate que 5 % de ses effectifs disparaissent chaque mois. Combien doit-il envoyer de nouvelles recrues chaque mois pour atteindre un effectif proche de 150 000 soldats, sachant qu'il a envoyé au départ un bataillon de 35 000 soldats ? Et s'il avait envoyé au départ un bataillon de 100 000 soldats ?