Approfondissement sur les suites numériques/Exercices/Suites arithmético-géométriques
Exercice 1
modifierSoient et la suite définie par : .
Exprimer en fonction de n et et montrer que cette suite est convergente et monotone.
Solution
La suite définie par vérifie : . C'est donc une suite arithmético-géométrique et (cf. chapitre 6)
- ,
d'où
- .
Par conséquent, et
- donc la suite est strictement croissante si , strictement décroissante si et constante si .
Exercice 2
modifierOn mesure l'évolution d'une quantité d'un produit à intervalles de temps réguliers ( est la quantité de départ), sachant que sur chaque unité de temps on perd une proportion (avec ) de produit et qu'on en injecte une quantité fixe .
- Montrer que .
- Si la suite est convergente, quelle est sa limite ?
- On pose . Montrer que la suite est géométrique. Exprimer en fonction de .
- En déduire que la suite est convergente, et retrouver le résultat de la question 2.
- Un gouvernement R décide d'envoyer des soldats en « opération militaire spéciale » dans un pays U ; il constate que 5 % de ses effectifs disparaissent chaque mois. Combien doit-il envoyer de nouvelles recrues chaque mois pour atteindre un effectif proche de 150 000 soldats, sachant qu'il a envoyé au départ un bataillon de 35 000 soldats ? Et s'il avait envoyé au départ un bataillon de 100 000 soldats ?
Solution
- .
- donc .
- En remplaçant, dans l'équation , par (et par ), on trouve
donc est géométrique de raison , si bien que . - donc .
- (indépendant de ).