Approfondissement sur les suites numériques/Exercices/Récurrence affine d'ordre 2


Les deux premiers exercices visent à vérifier votre assimilation des résultats du cours : les équations y sont proposées sous une forme simple qui vous permet d’utiliser directement les théorèmes développés dans la leçon.

Exercice de cours
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Exercices no2
Leçon : Approfondissement sur les suites numériques
Chapitre du cours : Récurrence affine d'ordre 2

Exercices de niveau 14.

Exo préc. :Suites arithmético-géométriques
Exo suiv. :Récurrence linéaire d'ordre 2
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Approfondissement sur les suites numériques/Exercices/Récurrence affine d'ordre 2
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Les exercices suivants seront moins « automatiques » et nécessiteront la recherche et la mise en équation du problème, la résolution étant supposée acquise.

Exercice 1

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Soit   une suite telle que :

 .
  1. Exprimer   en fonction de n et  .
  2. La suite converge-t-elle ? Si oui, quelle est sa limite ?

Exercice 2

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  1. Soit   la suite définie par :  .
    Exprimer   en fonction de n. Quelle est la limite de cette suite ?
  2. Soit   la suite définie par :  . Exprimer   en fonction de n.

Exercice 3

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Wikipédia possède un article à propos de « Automate cellulaire ».

Un automate cellulaire est un algorithme qui évolue pas à pas, observant les structures qu’il a déjà produites pour effectuer l'étape suivante. Cet exercice propose d’en étudier un très simple au moyen des suites récurrentes affines d'ordre 2.

Définition de l'automate

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Cet automate prendra deux valeurs, d'indices n et n + 1, et retournera la valeur d'indice n + 2. On incrémente alors n et l'on recommence l'opération.

Les règles sont :

  •   ;
  •   ;
  •  .

L'automate reçoit les deux premières valeurs et les complète avec ces règles. Par exemple, si l'on commence avec « 00 », alors il calculera le chiffre suivant (d'après les règles précédentes, c’est un 1). L'automate ne peut traiter que des 0 et des 1. On suppose que le cas « 11 » ne peut débuter la séquence.

Questions

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  1. Mettre en équation l'automate décrit, sous la forme d'une suite récurrente affine d'ordre 2. Cette mise en équation est-elle unique ?
  2. Déterminer les solutions réelles de l'équation linéaire associée.
  3. Montrer que, quels que soient les deux premiers termes de la suite, celle-ci est périodique et ne contient pas deux 1 consécutifs.

Oublions les règles

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Oublions maintenant les règles : il s'agit désormais de mathématiques pures.

  1. Le cas « 11 » n'est plus exclu : montrer que la solution est toujours périodique ;
  2. Existe-t-il une solution complexe à l'équation linéaire ? Est-elle bornée ?