Approfondissement sur les suites numériques/Exercices/Récurrence affine d'ordre 2

Exercice de cours
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Exercices no2
Leçon : Approfondissement sur les suites numériques
Chapitre du cours : Récurrence affine d'ordre 2

Exercices de niveau 14.

Exo préc. :Suites arithmético-géométriques
Exo suiv. :Récurrence linéaire d'ordre 2
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Approfondissement sur les suites numériques/Exercices/Récurrence affine d'ordre 2
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Les deux premiers exercices visent à vérifier votre assimilation des résultats du cours : les équations y sont proposées sous une forme simple qui vous permet d’utiliser directement les théorèmes développés dans la leçon.

Les exercices suivants seront moins « automatiques » et nécessiteront la recherche et la mise en équation du problème, la résolution étant supposée acquise.

Exercice 1Modifier

Soit   une suite telle que :

 .
  1. Exprimer   en fonction de n et  .
  2. La suite converge-t-elle ? Si oui, quelle est sa limite ?

Exercice 2Modifier

  1. Soit   la suite définie par :  .
    Exprimer   en fonction de n. Quelle est la limite de cette suite ?
  2. Soit   la suite définie par :  . Exprimer   en fonction de n.

Exercice 3Modifier

Wikipédia possède un article à propos de « Automate cellulaire ».

Un automate cellulaire est un algorithme qui évolue pas à pas, observant les structures qu’il a déjà produites pour effectuer l'étape suivante. Cet exercice propose d’en étudier un très simple au moyen des suites récurrentes affines d'ordre 2.

Définition de l'automateModifier

Cet automate prendra deux valeurs, d'indices n et n + 1, et retournera la valeur d'indice n + 2. On incrémente alors n et l'on recommence l'opération.

Les règles sont :

  •   ;
  •   ;
  •  .

L'automate reçoit les deux premières valeurs et les complète avec ces règles. Par exemple, si l'on commence avec « 00 », alors il calculera le chiffre suivant (d'après les règles précédentes, c’est un 1). L'automate ne peut traiter que des 0 et des 1. On suppose que le cas « 11 » ne peut débuter la séquence.

QuestionsModifier

1. Mettre en équation l'automate décrit, sous la forme d'une suite récurrente affine d'ordre 2. Cette mise en équation est-elle unique ? ;
2. Montrer que l'équation linéaire associée n'admet pas de solutions réelles ;
3. Montrer que, quels que soient les deux premiers termes de la séquence, celle-ci est périodique et ne contient pas deux 1 consécutifs.

Oublions les règlesModifier

Oublions maintenant les règles : il s'agit désormais de mathématiques pures.

1. Le cas « 11 » n'est plus exclus : montrer que la solution est toujours périodique ;
2. Existe-t-il une solution complexe à l'équation linéaire ? Est-elle bornée ?

On change les règles de l'automate (x représente n’importe quel nombre, ce n’est pas une quantité fixe) :

  •   ;
  •   si   ;
  •   si  .

Dans ce cas :

1. Proposer une mise en équation de cet automate. Est-elle unique ?
2. Quelle est l'évolution d'une suite décrite par cette équation ?