Arithmétique/Devoir/Nombres polymonadiques
Un nombre polymonadique est un nombre qui ne s'écrit qu'avec des 1, comme 1, 11, 111, 1111, 11111, etc.
Une définition équivalente est de dire qu'un nombre polymonadique est un nombre de la forme , avec n entier naturel, n ⩾ 1, le nombre n indiquant le nombre de chiffres 1 pour écrire ce nombre dans le système décimal.
On pose :
- .
On s'intéresse au problème suivant : existe-t-il des nombres polymonadiques premiers ?
1° Démontrer que lorsque n est pair, en est divisible par 11.
2° Démontrer que lorsque m divise n, em divise en.
- Aide : vous pouvez utiliser l'expression d'une somme de termes consécutifs d'une suite géométrique de raison b ≠ 1 :
- .
3° Déduisez-en que si en est premier, alors n est premier. Montrer que la réciproque est fausse en examinant le cas de e3.
4° a) À l'aide de l'identité pour m ⩾ n :
- ,
- démontrer que les diviseurs communs à em et en sont les diviseurs communs à em – n et en.
- b) En déduire que (en particulier, si m et n sont premiers entre eux, alors em et en sont premiers entre eux).
1° Modulo 11, donc 11 divise . D'après le théorème de Gauss, il divise donc .
- On peut aussi le déduire de la question suivante (cas m = 2).
2° donc em divise emr. On peut aussi le déduire de la question 4, puisque .
3° On en déduit que si n n'est pas premier alors en non plus (car si 1 < m < n alors 1 < em < en). Par contraposition, si en est premier alors n est premier.
- La réciproque est fausse : 3 est premier mais e3 = 111 = 3 × 37.
4° a) .
- b) Raisonner par anthyphérèse.