Arithmétique/Devoir/Nombres polymonadiques

Un nombre polymonadique est un nombre qui ne s'écrit qu'avec des 1, comme 1, 11, 111, 1111, 11111, etc.

Nombres polymonadiques
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Devoir no1
Leçon : Arithmétique

Devoir de niveau 13.

Dev préc. :Sommaire
Dev suiv. :Nombres premiers d'une suite
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Arithmétique/Devoir/Nombres polymonadiques
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Une définition équivalente est de dire qu'un nombre polymonadique est un nombre de la forme , avec n entier naturel, n ⩾ 1, le nombre n indiquant le nombre de chiffres 1 pour écrire ce nombre dans le système décimal.

On pose :

.

On s'intéresse au problème suivant : existe-t-il des nombres polymonadiques premiers ?


 Démontrer que lorsque n est pair, en est divisible par 11.

 Démontrer que lorsque m divise n, em divise en.

Aide : vous pouvez utiliser l'expression d'une somme de termes consécutifs d'une suite géométrique de raison b ≠ 1 :
.

 Déduisez-en que si en est premier, alors n est premier. Montrer que la réciproque est fausse en examinant le cas de e3.

 a)  À l'aide de l'identité pour mn :

,
démontrer que les diviseurs communs à em et en sont les diviseurs communs à em – n et en.
b)  En déduire que (en particulier, si m et n sont premiers entre eux, alors em et en sont premiers entre eux).