Arithmétique/Exercices/Divers

Exercice 11-1

1. Trouver tous les entiers strictement positifs $a$, $b$, $x$, $y$ tels que ${\frac {a+x}{b+y}}={\frac {a}{b}}$.
2. Calculez $x$ et $y$ lorsque $a=3$, $b=4$, $x+y=343$.

Solution

1. ${\frac {a+x}{b+y}}={\frac {a}{b}}\Leftrightarrow bx=ay$.
2. $4x=3(343-x)\Leftrightarrow x={\frac {3\times 343}{7}}=147$, d'où $y=343-147=196$.

 

Exercice 11-2

1. Vérifier que pour tout réel $x$, $x(x+1)(x+2)(x+3)=(x^{2}+3x+1)^{2}-1$.
2. Trouvez quatre entiers consécutifs dont le produit est $73\,440$.

Solution

1. Le polynôme $(x^{2}+3x+1)^{2}-1$ (unitaire et de degré 4) s'annule pour $x^{2}+3x+1=1$ (c'est-à-dire $x=0$ ou $-3$) ou $x^{2}+3x+1=-1$ (c'est-à-dire $x=-1$ ou $-2$).
2. $(x+3/2)^{2}-5/4=x^{2}+3x+1=\pm {\sqrt {73\,441}}=\pm 271\Leftrightarrow (x+3/2)^{2}=271+5/4\Leftrightarrow 2x+3=33^{2}\Leftrightarrow x={\frac {-3\pm 33}{2}}$.

   $(-18)(-17)(-16)(-15)=15\times 16\times 17\times 18=73\,440$.

 

Exercice 11-3

Un nombre qui, dans le système décimal, s'écrit avec quatre chiffres identiques, peut-il être un carré parfait ?

Solution

Non car un tel nombre (ou même un nombre qui s'écrit ${\overline {abab}}$) est multiple de $101$, qui est premier et dont le carré a $5$ chiffres.

 

Exercice 11-4

Trouvez un nombre de quatre chiffres qui est un carré parfait et qui est tel que, lorsqu'on augmente chacun de ses chiffres d'une unité, on obtient encore un carré parfait.

Solution

Si $n^{2}={\overline {abcd}}=10^{3}a+10^{2}b+10c+d$ (avec $a,b,c,d\in \{0,1,\dots ,8\}$) et $m^{2}=10^{3}(a+1)+10^{2}(b+1)+10(c+1)+d$ alors $(m-n)(m+n)=m^{2}-n^{2}=1111=11\times 101$ donc $m-n=11$ et $m+n=101$, donc $n=45$. Vérification : $45^{2}={\overline {2025}}$ et ${\overline {3136}}=56^{2}$.

 

Exercice 11-5

a et b sont deux entiers tels que a² + 2b est un carré parfait.

1. Démontrer que 2b est le produit de deux nombres pairs.
2. Démontrer que a² + b est une somme de deux carrés entiers.

Solution

1. $a^{2}+2b=c^{2}\Rightarrow 2b=c^{2}-a^{2}=(c+a)(c-a)$. Les deux entiers $c+a$ et $c-a$ ont même parité et leur produit est pair donc ils sont pairs.
2. Soient $u={\frac {c+a}{2}}$ et $v={\frac {c-a}{2}}$, alors $a^{2}+b=(u-v)^{2}+2uv=u^{2}+v^{2}$.

 

Exercice 11-6

1. Démontrer que pour tout entier n, le nombre 4n est somme de trois carrés (d'entiers) (si et) seulement si n l'est.
2. Démontrer qu'un entier congru à 7 modulo 8 ne peut pas être somme de trois carrés .
3. En déduire qu'aucun entier de la forme 4^j × (8k – 1) (avec j et k entiers) n'est somme de trois carrés.

Solution

1. (Le sens « si » est immédiat.) Modulo 4, tout carré est congru à 0 ou 1 donc si a² + b² + c² = 4n alors a, b et c sont pairs et n = (a/2)² + (b/2)² + (c/2)².
2. Modulo 8, tout carré est congru à 0, 1 ou 4 donc une somme de trois carrés n'est jamais congrue à 7.
3. Récurrence sur j, en utilisant la question 2 pour l'initialisation et la question 1 pour l'hérédité.

 

Exercice 11-7

Trouvez, s'ils existent, les chiffres $a$ et $b$ tels que le nombre qui s'écrit ${\overline {aabb}}$ dans le système décimal est un carré parfait.

Solution

${\begin{aligned}{\overline {aabb}}=11(100a+b)=11^{2}c^{2}&\Leftrightarrow 11c^{2}=100a+b=99a+(a+b)\\&\Leftrightarrow a+b=11\quad {\text{et}}\quad c^{2}=9a+1\\&\Leftrightarrow c\equiv \pm 1\mod 9,\quad a={\frac {c^{2}-1}{9}}\quad {\text{et}}\quad b=11-a\\&\Leftrightarrow c=8,\quad a=7\quad {\text{et}}\quad b=4.\end{aligned}}$

 

Exercice 11-8

Démontrer que si un entier est divisible par n entiers premiers entre eux deux à deux, alors il est divisible par leur produit.

Solution

On peut raisonner par récurrence sur n. Pour un seul diviseur, c'est immédiat. Supposons que c'est vrai pour n diviseurs et montrons que ça l'est encore pour n + 1 diviseurs. Soient donc $a_{0},\dots ,a_{n}$, entiers premiers entre eux deux à deux et divisant un entier $b$. Puisque $a_{0}$ divise $b$, il existe un entier $c$ tel que $b=a_{0}c$. Et puisque $a_{1},\dots ,a_{n}$ divisent $a_{0}c$ et sont premiers avec $a_{0}$, ils divisent $c$ (d'après le théorème de Gauss) donc (par hypothèse de récurrence) leur produit $a_{1}\dots a_{n}$ divise $c$, si bien que $a_{0}a_{1}\dots a_{n}$ divise $a_{0}c=b$.

 

Exercice 11-9

1.

1. Démontrer qu'un entier congru à 3 modulo 4 ne peut pas être somme de deux carrés.
2. Démontrer qu'un entier congru à 6 modulo 8 ne peut pas être somme de deux carrés.
3. En admettant que tout entier positif qui n'est ni de la forme 8k + 7, ni multiple de 4, est somme de 3 carrés, déduire des deux questions précédentes que les nombres de la forme 8k + 3, 8k + 6, 32k + 12 ou 32k + 24 (avec $k\in \mathbb {N}$) sont sommes de trois carrés non nuls.
4. En ajoutant un « petit » carré non nul aux nombres de la question précédente, en déduire que tout entier positif non divisible par 8 est somme de quatre carrés non nuls, sauf les onze entiers 1, 2, 3, 5, 6, 9, 11, 14, 17, 29 et 41.

Solution

1. Modulo 4, tout carré est congru à 0 ou 1 donc une somme de deux carrés est congrue à 0, 1 ou 2.
2. Modulo 8, tout carré est congru à 0, 1 ou 4 donc une somme de deux carrés est congrue à 0, 1, 2, 4 ou 5.
3. D'après le fait admis et les deux questions précédentes, les entiers de la forme 8k + 3 ou 8k + 6 sont sommes de trois carrés mais pas deux, donc trois carrés non nuls. On termine en multipliant par 4.
4. D'après la question précédente, on remarque d'abord que les nombres suivants (pour tout entier k ≥ 0) sont sommes de quatre carrés non nuls :
   • 8k + 3 + 1² = 8k + 4 ;
   • 8k + 3 + 2² = 8k + 7 ;
   • 8k + 3 + 4² = 8(k + 2) + 3 ;
   • 8k + 6 + 2² = 8(k + 1) + 2 ;
   • 8k + 6 + 4² = 8(k + 2) + 6.

   Le cas des nombres congrus modulo 8 à 2, 3, 4, 6 ou 7 est donc réglé, sauf les nombres 3, 11, 2, 6 et 14, et l'on constate rapidement qu'aucun d'eux n'est somme de quatre carrés non nuls. Il reste à traiter les nombres congrus modulo 8 à 1 ou 5, c'est-à-dire congrus modulo 32 à 1, 9, 17, 25, 5, 13, 21 ou 29.

   À nouveau d'après la question précédente, les nombres suivants sont sommes de quatre carrés non nuls :

   • 32k + 12 + 1² = 32k + 13 ;
   • 32k + 12 + 3² = 32k + 21 ;
   • 32k + 12 + 5² = 32(k + 1) + 5 ;
   • 32k + 12 + 7² = 32(k + 2) + 29 ;
   • 32k + 24 + 1² = 32k + 25 ;
   • 32k + 24 + 3² = 32(k + 1) + 1 ;
   • 32k + 24 + 5² = 32(k + 1) + 17 ;
   • 32k + 24 + 7² = 32(k + 2) + 9.

   Toutes les classes de congruence restantes sont donc traitées, sauf les nombres 5, 29, 61, 1, 17, 9 et 41. Parmi eux, seul 61 est somme de quatre carrés non nuls (doublement : 61 = 2² + 2² + 2² + 7² = 2² + 4² + 4² + 5²).

   Finalement, tous les non multiples de 8 sont sommes de quatre carrés non nuls sauf 1, 2, 3, 5, 6, 9, 11, 14, 17, 29 et 41.

 

2. Démontrer que pour tout entier n, le nombre 8n est somme de quatre carrés non nuls (si et) seulement si 2n l'est.

Solution

(Le sens « si » est immédiat.) Modulo 8, tout carré est congru à 0, 1 ou 4 donc si a² + b² + c² + d² = 8n alors a, b, c, d sont pairs et 2n = (a/2)² + (b/2)² + (c/2)² + (d/2)².

 

3. Déduire de ce qui précède que les entiers strictement positifs qui ne sont pas sommes de quatre carrés non nuls sont :

1, 3, 5, 9, 11, 17, 29, 41 et les nombres $2\times 4^{m}$, $6\times 4^{m}$ et $14\times 4^{m}$ pour tout $m\in \mathbb {N}$.

Solution

D'après la question 1, les seuls entiers positifs impairs qui ne sont pas sommes de quatre carrés non nuls sont 1, 3, 5, 9, 11, 17, 29 et 41. Soit maintenant n pair, donc de la forme $n=r4^{m}$ avec $m\in \mathbb {N}$ et r entier positif pair non divisible par 4. D'après la question 2 (par récurrence sur m), n est somme de quatre carrés non nuls si et seulement si r l'est, c'est-à-dire, d'après la question 1 : toujours sauf si r = 2, 6 ou 14.