Arithmétique/Exercices/Nombres premiers

Exercice 10-1

Soit p un nombre premier impair. Trouvez les entiers naturels $x$ et $y$ tels que :

$x^{2}-y^{2}=p$.

Solution

Si $p=(x-y)(x+y)$ alors le plus petit des deux facteurs est égal à $1$ et l'autre à $p$, autrement dit : $x=y+1$ et $p=2y+1$, ou encore : $y={\frac {p-1}{2}}$ et $x={\frac {p+1}{2}}$.

L'unique solution est donc : $(x,y)=\left({\frac {p+1}{2}},{\frac {p-1}{2}}\right)$.

 

Exercice 10-2

Le nombre 401 est-il premier ? Trouvez les entiers naturels $x$ et $y$ tels que :

$x^{2}-y^{2}=401$.

Solution

401 est bien premier, puisqu'il n'est divisible par aucun des nombres premiers inférieurs à sa racine carrée.

D'après l'exercice précédent, l'unique solution est donc : $(x,y)=\left({\frac {401+1}{2}},{\frac {401-1}{2}}\right)=(201,200)$.

 

Exercice 10-3

Soit p un nombre premier supérieur à 4.

Démontrer que p – 1 ou p – 5 est divisible par 6.

Solution

p est congru à 1 mod 2 et à ±1 mod 3, donc à 1 ou 5 mod 6.

 

Exercice 10-4

1. Quels sont les restes possibles de la division par 4 d'un nombre premier ? Même question dans la division par 6.
2. Déduisez-en que pour tout nombre premier p > 4, p² – 1 est divisible par 24.

Solution

1. • Tout nombre premier > 2 est impair donc congru modulo 4 à 1 ou 3 (le nombre premier 2 est congru à lui-même).
   • L'exercice 10-3 permet d'affirmer que modulo 6, tout nombre premier > 3 est congru à 1 ou 5 (les nombres premiers 2 et 3 sont congrus à eux-mêmes).
2. Il s'agit de montrer que p² – 1 est divisible par 3 et par 8. D'après la question précédente :
   • p ≡ ±1 mod 3 donc p² ≡ 1 mod 3.
   • p = 4k ± 1 donc p² = 16k² ± 8k + 1 ≡ 1 mod 8.

 

Exercice 10-5

Trouvez tous les entiers relatifs $x$ et $y$ tels que :

$x^{2}+57=y^{2}$.

Solution

Supposons d'abord $x$ et $y$ positifs. Alors, $3\times 19=(y-x)(y+x)\Leftrightarrow$ ($y-x=3$ et $y+x=19$) ou ($y-x=1$ et $y+x=57$), c'est-à-dire $(x,y)=(8,11)$ ou $(28,29)$.

Il y a donc 8 solutions $(x,y)\in \mathbb {Z} ^{2}$ : ±(8, ±11) et ±(28, ±29).

 

Exercice 10-6

Trouvez tous les entiers relatifs $x$ et $y$ tels que :

$x^{2}+6x=y^{2}+47$.

Solution

$x^{2}+6x=y^{2}+47\Leftrightarrow (x+3)^{2}=y^{2}+56$ donc cherchons d'abord les couples d'entiers positifs $z$ et $y$ tels que $z^{2}=y^{2}+56$. Nécessairement, $z$ et $y$ sont de même parité donc $(z-y,z+y)=(2,28)$ ou $(4,14)$, c'est-à-dire $(z,y)=(15,13)$ ou $(9,5)$.

Il y a donc 8 solutions $(x,y)\in \mathbb {Z} ^{2}$ : ±(15, ±13) – (3, 0) et ±(9, ±5) – (3, 0), c'est-à-dire : (12, ±13), (–18, ±13), (6, ±5) et (–12, ±5).