Arithmétique/Exercices/Multiples et diviseurs

Exercice 2-1

a est un entier relatif. Démontrer que a(a² – 1) est un multiple de 6.

Solution

a(a² – 1) = (a – 1)a(a + 1) est divisible :

• par 3 car l'un des trois facteurs l'est ;
• par 2 car l'un au moins des trois facteurs l'est.

Il est donc divisible par ppcm(3, 2) = 6. Attention ! Il faut s'assurer également que 3 et 2 sont premiers entre eux ! Contre exemple : 6 divise 12 et 4 divise 12 et pourtant 24(=6*4) ne divise pas 12 (en effet ici 6 et 4 ne sont pas premiers entre eux).

 

Exercice 2-2

Trouver tous les couples d'entiers relatifs x et y dont la somme est un multiple du produit.

Solution

Si xy | x + y alors x | x + y donc x | y et de même, y | x, si bien que y = ±x. Étudions la réciproque.

Si y = –x alors x + y est nul donc divisible par xy.

Si y ≠ –x et y = x (donc x ≠ 0) alors xy | x + y si et seulement si x² | 2x, c'est-à-dire x | 2.

Les solutions sont donc les couples (x, x) pour x = ±1 ou ±2 et les couples (x, –x) pour tout entier x.

 

Exercice 2-3

Trouver tous les entiers naturels x, y, z tels que :

$xyz=4(x+y+z)$.

Aide : Supposer que z est le plus grand. Prouver alors que xy ⩽ 12.

Solution

Soit $(x,y,z)$ une solution, avec $x\leq y\leq z$. Si $x=0$ alors $0=4(y+z)$ donc $y=z=0$. Supposons désormais $x>0$.

Alors, ${\frac {1}{yz}}+{\frac {1}{zx}}+{\frac {1}{xy}}={\frac {1}{4}}$ donc :

• ${\frac {1}{4}}\leq {\frac {3}{xy}}$, c'est-à-dire $xy\leq 12$ ;
• ${\frac {1}{xy}}<{\frac {1}{4}}$, c'est-à-dire $xy\geq 5$.

Passons en revue, pour ces valeurs autorisées de $P=xy$, les valeurs possibles de $x$ et $y$. On aura $Pz=4\left({\frac {P}{y}}+y+z\right)$ donc $z={\frac {4\left({\frac {P}{y}}+y\right)}{P-4}}$, qui doit être supérieur ou égal à $y$, ce qui équivaut à :

$(P-8)y^{2}\leq 4P$.

• Si P = 5 alors x = 1 et y = 5 donc z = 24.
• Si P = 6 alors :
  • ou bien x = 1 et y = 6 donc z = 14,
  • ou bien x = 2 et y = 3 donc z = 10.
• P = 7 est impossible car on aurait x = 1 et y = 7 donc z = 32/3 (non entier).
• Si P = 8 alors :
  • ou bien x = 1 et y = 8 donc z = 9,
  • ou bien x = 2 et y = 4 donc z = 12.
• P = 9 est impossible car on aurait (compte tenu de la condition y² ≤ 4×9/(9 – 8)) x = y = 3 donc z = 24/5 (non entier).
• P = 10 est impossible car on aurait $y^{2}\geq 5^{2}>20={\frac {4P}{P-8}}$.
• P = 11 est impossible car on aurait $y^{2}=11^{2}>{\frac {44}{3}}={\frac {4P}{P-8}}$.
• P = 12 est impossible car on aurait $y^{2}\geq 4^{2}>12={\frac {4P}{P-8}}$.

Les solutions sont donc : (0, 0, 0), (1, 5, 24), (1, 6, 14), (2, 3, 10), (1, 8, 9) et (2, 4 ,12).

 

Exercice 2-4

n est un entier, montrer que n(n⁶ – 1) est divisible par 7.

Solution

$n(n^{6}-1)=n(n^{3}-1)(n^{3}+1)$ or modulo 7, si $n\not \equiv 0$ alors $n^{3}$ est congru à $(\pm 1)^{3}=\pm 1$, $(\pm 2)^{3}\equiv \pm 1$ ou $(\pm 3)^{3}\equiv 2\times \pm 3\equiv \mp 1$.

 

Exercice 2-5

n est un entier, montrer que 3²ⁿ – 2ⁿ est divisible par 7.

Solution

Modulo 7, $3^{2}\equiv 2$ donc $3^{2n}=\left(3^{2}\right)^{n}\equiv 2^{n}$.

 

Exercice 2-6

Soit (a, b, c) un triplet pythagoricien, c'est-à-dire un triplet d'entiers vérifiant la relation de Pythagore a² + b² = c². Montrer que :

1. a ou b est divisible par 3 ;
2. a, b ou c est divisible par 5 ;
3. a ou b est divisible par 4.

Solution

1. Si ni a ni b n'étaient divisibles par 3 alors, modulo 3, a² + b² serait congru à (±1)² + (±1)² = 2, ce qui est absurde car c² est congru à 0 ou 1.
2. Si ni a ni b ne sont divisibles par 5 alors, modulo 5, a² et b² sont congrus à ±1 et ne sont pas congrus entre eux (car c² n'est pas congru à ±2). Donc leur somme c² est congrue à 1 – 1 = 0, donc c est divisible par 5.
3. Quitte à simplifier par les puissances de 2 communes à a, b et c, on peut supposer que a ou b est impair, et même (en intervertissant a et b si nécessaire), que a est impair. Alors, modulo 8, a² est congru à 1, tandis que b² et c² sont congrus à 0, 1 ou 4. On en déduit que b² est divisible par 8 donc b est divisible par 4.

 

Exercice 2-7

a et b sont deux entiers relatifs. Démontrer que si a² + b² est divisible par 7, alors a est divisible par 7 et b est divisible par 7.

Solution

Modulo 7, tout carré est congru à $0^{2}=0$, $(\pm 1)^{2}=1$, $(\pm 2)^{2}=4$ ou $(\pm 3)^{2}\equiv 2$, or la somme de deux tels nombres n'est congrue à 0 que si chacun des deux est 0.

 

Exercice 2-8

Démontrer que pour tout entier naturel impair n, la somme de n nombres consécutifs est un multiple de n.

Solution

La somme des n entiers de m à m + n – 1 est ${\frac {n(2m+n-1)}{2}}=n\times \left(m+{\frac {n-1}{2}}\right)$.

 

Exercice 2-9

Montrer que pour tout entier naturel $n$, $(5n)!$ est divisible par $40^{n}\times n!$ (voir si nécessaire : Combinatoire/Factorielles).

Solution

Récurrence.

• Initialisation : $(5\times 0)!=0!=1$ est divisible par $1=40^{0}\times 0!$.
• Hérédité : si $(5n)!$ est divisible par $40^{n}\times n!$, alors $(5(n+1))!$ est divisible par $40^{n}\times n!\times (5n+1)(5n+2)(5n+3)(5n+4)(5n+5)=40^{n}\times (n+1)!\times 5(5n+1)(5n+2)(5n+3)(5n+4)$ donc par $40^{n+1}\times (n+1)!$, car $(5n+1)(5n+2)(5n+3)(5n+4)$ est divisible par 8. En effet, sur 4 entiers consécutifs, il y a 2 pairs, dont l'un divisible par 4.