Arithmétique/Exercices/Multiples et diviseurs

Multiples et diviseurs
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Exercices no2
Leçon : Arithmétique
Chapitre du cours : Divisibilité et congruences dans Z

Exercices de niveau 13.

Exo préc. :Division euclidienne
Exo suiv. :Diviseurs communs
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Exercice 2-1

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a est un entier relatif. Démontrer que a(a2 – 1) est un multiple de 6.

Exercice 2-2

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Trouver tous les couples d'entiers relatifs x et y dont la somme est un multiple du produit.

Exercice 2-3

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Trouver tous les entiers naturels x, y, z tels que :

 .

Aide : Supposer que z est le plus grand. Prouver alors que xy ⩽ 12.

Exercice 2-4

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n est un entier, montrer que n(n6 – 1) est divisible par 7.

Exercice 2-5

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n est un entier, montrer que 32n – 2n est divisible par 7.

Exercice 2-6

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Soit (a, b, c) un triplet pythagoricien, c'est-à-dire un triplet d'entiers vérifiant la relation de Pythagore a2 + b2 = c2. Montrer que :

  1. a ou b est divisible par 3 ;
  2. a, b ou c est divisible par 5 ;
  3. a ou b est divisible par 4.

Exercice 2-7

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a et b sont deux entiers relatifs. Démontrer que si a2 + b2 est divisible par 7, alors a est divisible par 7 et b est divisible par 7.

Exercice 2-8

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Démontrer que pour tout entier naturel impair n, la somme de n nombres consécutifs est un multiple de n.

Exercice 2-9

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Montrer que pour tout entier naturel  ,   est divisible par   (voir si nécessaire : Combinatoire/Factorielles).