Arithmétique/Exercices/Congruences

Congruences
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Exercices no9
Leçon : Arithmétique
Chapitre du cours : Divisibilité et congruences dans Z

Exercices de niveau 13.

Exo préc. :Numération
Exo suiv. :Nombres premiers
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Exercice 9-1

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Quel est le reste de la division par 7 du nombre 3245 ?

Exercice 9-2

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Quel est le reste de la division par 19 du nombre 57383114 ?

Exercice 9-3

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Quel est le reste de la division par 7 du nombre 912341998 ?

Exercice 9-4

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  1. Démontrez que si l'on divise un entier n par 111, on trouve le même reste qu'en divisant 1000n par 111.
  2. Déduisez-en que les deux nombres 108 + 104 + 1 et 1010 + 105 + 1 sont divisibles par 111.

Exercice 9-5

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Quels sont les entiers n tels que n6 – 1 soit divisible par 9 ?

Exercice 9-6

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Soient n1, n2, n3, n4 et n5 cinq entiers relatifs vérifiant la relation :

 .

Montrez qu'alors, au moins un de ces cinq entiers est un multiple de 7.

Exercice 9-7

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  1. Démontrer que si les entiers p et 8p – 1 sont premiers, alors 8p + 1 n'est pas premier. (Aide : On s'aidera des congruences modulo 3.)
  2. Démontrer que si p est premier et différent de 3, alors 8p2 + 1 est composé.

Exercice 9-8

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Trouvez tous les entiers relatifs   vérifiant simultanément les trois congruences :

 

Exercice 9-9

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Déterminer le chiffre des unités de  .

Exercice 9-10

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Wikipédia possède un article à propos de « Théorème des restes chinois ».
  1. Trouvez tous les entiers congrus à la fois à   et à  .
  2. Trouvez tous les entiers congrus à la fois à   et à  .
  3. Trouvez tous les entiers congrus à la fois à   et à  .
  4. Trouvez tous les entiers congrus à la fois à   et à  .
  5. Trouvez tous les entiers congrus à la fois à   et à  .
  6. Trouvez tous les entiers congrus à la fois à   et à  .
  7. Trouvez tous les entiers congrus à la fois à   et à  .
  8. Trouvez tous les entiers congrus à la fois à   ou   et à  .
  9. Trouvez tous les entiers congrus à la fois à   ou   et à  .

Exercice 9-11

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  1. Montrer que pour tout entier naturel  ,  .
  2. Quel est le reste de la division euclidienne de   par   ?
  3. Soit   un entier impair non divisible par  . Montrer que  .
  4. Donner le dernier chiffre de l'écriture en base   de  .

Exercice 9-12

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On pose  . On note   la somme des chiffres de  ,   la somme des chiffres de   et   la somme des chiffres de  . Déterminer  . (Indication : calculer   modulo un nombre bien choisi et par ailleurs, majorer  .)

Liens externes

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