Arithmétique/Exercices/Numération

Exercice 8-1

Trouvez toutes les valeurs des chiffres $x$ et $y$ tels que le nombre qui s'écrit ${\overline {26x95y}}$ dans le système décimal soit divisible par 3 et par 11.

Solution

$11\mid y-5+9-x+6-2\Leftrightarrow 11\mid y-x-3\Leftrightarrow y-x\in \{-9,3\}$.

$3\mid 2+6+x+9+5+y\Leftrightarrow 3\mid x+y+1\Rightarrow (x,y)\neq (9,0)\Rightarrow y-x\neq -9$.

$\left(y-x=3{\text{ et }}3\mid x+y+1\right)\Leftrightarrow \left(y=x+3{\text{ et }}3\mid x-1\right)\Leftrightarrow (x,y)=(1,4){\text{ ou }}(4,7)$.

 

Exercice 8-2

A est le nombre qui s'écrit 68425 dans le système décimal. Écrivez ce nombre dans le système à base 8, puis dans le système à base 12.

Solution

$68425=32768\times 2+512\times 5+64\times 5+8+1=8^{5}\times 2+8^{3}\times 5+8^{2}\times 5+8+1$ s'écrit, en base 8 : $205511$.

$68425=20736\times 3+1728\times 3+144\times 7+12\times 2+1=12^{4}\times 3+12^{3}\times 3+12^{2}\times 7+12\times 2+1$ s'écrit, en base 12 : $33721$.

 

Exercice 8-3

A est le nombre qui s'écrit 16524 en base 7. Écrivez ce nombre en base 2.

Solution

Convertissons-le d'abord en décimal :

$7^{4}+7^{3}\times 6+7^{2}\times 5+7\times 2+4=4722=4096+512+64+32+16+2=2^{12}+2^{9}+2^{6}+2^{5}+2^{4}+2$

qui, en binaire, s'écrit :

$1\,001\,001\,110\,010$.

 

Exercice 8-4

A est le nombre qui s'écrit ${\overline {10ab}}$ dans le système à base 12. Écrivez ce nombre dans le système décimal.

Solution

$12^{3}+12a+b$.

 

Exercice 8-5

Combien y a-t-il d'entiers naturels écrits avec trois chiffres dans le système décimal ? dans le système binaire ?

Solution

Respectivement : $9\times 10\times 10=900$ et $1\times 2\times 2=4$.

 

Exercice 8-6

Effectuez, dans le système décimal, l'addition :

${\begin{array}{c}&S&E&N&D\\&M&O&R&E\\\hline M&O&N&E&Y\\\end{array}}$

en déterminant les chiffres que l'on doit mettre à la place des lettres, des lettres distinctes remplaçant des chiffres distincts.

Solution

 

Exercice 8-7

Les chiffres manquants étant remplacés par des points, reconstituez la multiplication suivante dans le système décimal :

${\begin{array}{c}&.&.&.&.\\&&&&9\\\hline 8&0&.&6&7\\\end{array}}$

Solution

Pour que le résultat soit un multiple de 9, il faut que la somme de ses chiffres le soit, donc son chiffre manquant est 6. La première ligne est donc ${\frac {80667}{9}}=8963$.

 

Exercice 8-8

Les chiffres manquants étant remplacés par des points, reconstituez la multiplication suivante dans le système décimal :

${\begin{array}{c}&&.&.&.&.\\&&&&.&9\\\hline &4&7&5&.&7\\.&.&.&.&.\\\hline .&.&.&.&3&.\\\end{array}}$

Solution

En raisonnant comme dans l'exercice précédent, on trouve d'abord

${\begin{array}{c}&&5&2&8&3\\&&&&a&9\\\hline &4&7&5&4&7\\.&.&.&.&b\\\hline .&.&.&.&3&.\\\end{array}}$

puis $b=9$ donc $a=3$, et la fin est alors automatique :

${\begin{array}{c}&&5&2&8&3\\&&&&3&9\\\hline &4&7&5&4&7\\1&5&8&4&9\\\hline 2&0&6&0&3&7\\\end{array}}$