Arithmétique/Exercices/Fractions

Fractions
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Exercices no7
Leçon : Arithmétique
Chapitre du cours : PGCD et Théorèmes de Bézout et Gauss

Exercices de niveau 13.

Exo préc. :Théorème de Gauss
Exo suiv. :Numération
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Arithmétique/Exercices/Fractions
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Exercice 7-1Modifier

Prouvez que la fraction :

 

est irréductible.

Exercice 7-2Modifier

La fraction :

 

peut-elle être égale à un entier ?

Exercice 7-3Modifier

La fraction :

 

est-elle irréductible ?

Exercice 7-4Modifier

a et b sont deux entiers naturels premiers entre eux. Démontrez qu'il en est de même :

a) de a + b et a ;
b) de a + b et b ;
c) de a + b et ab.

Déduisez de la question précédente que la fraction :

 

est irréductible.

Exercice 7-5Modifier

Démontrer que si la fraction   est irréductible, il en est de même pour les fractions :

  1.  
  2.  
  3.  
  4.  

Exercice 7-6Modifier

Prouvez que si la somme de deux fractions irréductibles est un entier, alors les dénominateurs de ces fractions sont égaux.

Exercice 7-7Modifier

On pose :

 .
  1. Prouvez que les diviseurs communs au numérateur et au dénominateur de   sont les diviseurs communs à n2 – 1 et 2.
  2. Déduisez-en que si n est pair, la fraction est irréductible, et que si n est impair, le PGCD du numérateur et du dénominateur est égal à 2.