Arithmétique/Exercices/Fractions
Exercice 7-1
modifierProuvez que la fraction :
est irréductible.
Solution
.
Exercice 7-2
modifierLa fraction :
peut-elle être égale à un entier ?
Solution
Pour , est entier si et seulement si , c'est-à-dire .
Exercice 7-3
modifierLa fraction :
est-elle irréductible ?
Solution
, et donc (d'après un corollaire du théorème de Gauss) .
Exercice 7-4
modifier1° a et b sont deux entiers naturels premiers entre eux. Démontrez qu'il en est de même :
- a) de a + b et a ;
- b) de a + b et b ;
- c) de a + b et ab.
2° Déduisez de la question précédente que la fraction :
est irréductible.
Solution
-
- ;
- ;
- se déduit des deux points précédents et d'un corollaire du lemme de Gauss.
- Appliquer 1.c à et .
Exercice 7-5
modifierDémontrer que si la fraction est irréductible, il en est de même pour les fractions :
Solution
- Cf. exercice précédent.
- , d'après la question précédente et un corollaire du lemme de Gauss
- d'après la question précédente
- D'après un corollaire du lemme de Gauss (appliqué deux fois), et sont premiers entre eux donc d'après la question 1, et le sont aussi.
Exercice 7-6
modifierProuvez que si la somme de deux fractions irréductibles est un entier, alors les dénominateurs de ces fractions sont égaux.
Solution
Soient et tels que . Si alors :
- et donc (théorème de Gauss) ;
- de même, .
Donc .
Exercice 7-7
modifierOn pose :
- .
- Prouvez que les diviseurs communs au numérateur et au dénominateur de sont les diviseurs communs à n2 – 1 et 2.
- Déduisez-en que si n est pair, la fraction est irréductible, et que si n est impair, le PGCD du numérateur et du dénominateur est égal à 2.
Solution
- .
D'après le théorème de Gauss, puisque est premier avec , . - Si est pair, est impair donc premier avec . Si est impair, est pair donc .