Arithmétique/Exercices/Théorème de Gauss
Exercice 5-1
modifiera est le nombre a = n(n2 + 5), n étant un entier naturel.
- Démontrer que a est divisible par 2.
- Démontrer que a est divisible par 3.
- Que pouvez-vous déduire des deux questions précédentes ?
- et sont de même parité donc et sont de parités contraires.
- Modulo 3, .
- a est divisible par ppcm(2, 3) = 6.
Exercice 5-2
modifiern est un entier relatif. Prouvez que n(2n + 1)(7n + 1) est divisible par 6.
Modulo 2, .
Modulo 3, .
Donc n(2n + 1)(7n + 1) est divisible par ppcm(2, 3) = 6.
Exercice 5-3
modifiern est un entier relatif. Prouvez que :
1° n(n + 1)(n + 2)(n + 3) est divisible par 24 ;
2° n(n + 1)(n + 2)(n + 3)(n + 4) est divisible par 120.
1° n(n + 1)(n + 2) est divisible par 3 et parmi quatre entiers consécutifs, deux sont pairs, et l'un des deux est multiple de 4 donc le produit est multiple de 8, et donc de ppcm(8, 3) = 24.
2° n(n + 1)(n + 2)(n + 3)(n + 4) est divisible par 24 d'après la question précédente, mais aussi par 5 donc par ppcm(24, 5) = 120.
Exercice 5-4
modifier- Démontrer que le produit de trois entiers consécutifs est un multiple de 6.
- Soient n un entier naturel et x l'entier : x = n(n + 1)(n + 2)(n + 3). Écrivez à l'aide de x et déduisez-en que x est un multiple de 4!.
- Soient n et p des entiers strictement positifs. Démontrer que y = n(n + 1)(n + 2)(n + 3)…(n + p – 1) est un multiple de p!.
- Parmi trois entiers consécutifs, l'un est multiple de 3 et au moins un est pair, donc le produit est divisible par ppcm(2, 3) = 6.
- donc .
- De même, donc .
Exercice 5-5
modifiera et b sont des entiers naturels.
- Montrer que a5 – a est divisible par 10.
- Démontrer que si a5 – b5 est divisible par 10, alors a2 – b2 est divisible par 20.
- a5 – a est pair (car a5 et a ont même parité). Modulo 5, il est congru à ou ou ou ou . Il est donc divisible par ppcm(2, 5) = 10.
- Si 10 divise a5 – b5 alors, d'après la question précédente, il divise aussi a – b, qui est donc pair donc a + b est divisible par 2. Le produit a2 – b2 = (a – b)(a + b) est alors divisible par 10×2.
Exercice 5-6
modifiern est un entier naturel.
Prouvez que n2(n2 – 1)(n2 + 1) est divisible par 60.
n(n2 – 1) = (n – 1)n(n + 1) est divisible par 3.
Si n est pair, n2 est divisible par 4 et si n est impair, n2 – 1 = (n – 1)(n + 1) est divisible par 2×2 = 4.
Modulo 5, n2 est congru à , ou donc n2, n2 – 1 ou n2 + 1 est divisible par 5.
Donc n2(n2 – 1)(n2 + 1) est divisible par ppcm(3, 4, 5) = 60.
Exercice 5-7
modifiern et p sont des entiers strictement positifs. Démontrer que :
1° n(n4 – 1) est divisible par 30 ;
2° l'écriture décimale de np et np+4 se termine à droite par le même chiffre.
1° n(n4 – 1) = n(n2 – 1)(n2 + 1) et n(n2 – 1) = (n – 1)n(n + 1) est divisible par 2 et par 3 donc par 6.
- Si n n'est pas divisible par 5 alors modulo 5, n2 est congru à ou donc n4 – 1 est congru à .
- Donc n(n4 – 1) est divisible par ppcm(6, 5) = 30.
2° D'après la question précédente, modulo 30 et a fortiori modulo 10, np+4 – np est congru à np–1×0 = 0.
Exercice 5-8
modifiera et b sont deux entiers naturels premiers entre eux tels que b > 1. On note b1 < b2 < … < bn les entiers naturels inférieurs à b et premiers avec b.
- Démontrer que les éléments de l'ensemble E = {b1a, b2a, b3a, … , bna} sont premiers avec b.
- Démontrer qu'en divisant par b deux éléments quelconques de l'ensemble E, on obtient des restes différents et premiers avec b. Quel est alors l'ensemble des restes ?
- Théorème de Gauss.
- Notons rk le reste de la division par b de bka. Alors, 0 ≤ rk < b et pgcd(rk, b) = pgcd(bka, b) = 1 (d'après la question précédente).
De plus, si j > k alors rj ≠ rk car b ne divise pas bja – bka = (bj – bk)a car sinon (théorème de Gauss) il diviserait bj – bk, or 0 < bj – bk < b.
L'ensemble des n restes est donc E.