Arithmétique/Théorèmes de Bézout et Gauss

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Identité de Bézout

L'identité de Bézout est aussi appelée Petit théorème de Bézout.

Début d’un théorème

Théorème

Soient a et b deux entiers non tous deux nuls et d leur PGCD. Alors, il existe deux entiers u et v tels que au + bv = d.

Fin du théorème

Remarque

Le couple (u, v) n’est pas unique.

Début de l'exemple

Exemple

Soient $a=150$ et $b=24$. On a $pgcd(a,b)=6$.

• $u=1,v=-6$ vérifient l'identité de Bézout
• $u=5,v=-31$ font de même

Fin de l'exemple

Démonstration

L'ensemble des entiers strictement positifs de la forme au + bv (avec u et v entiers) est non vide (il contient |a| ou |b|) donc possède un plus petit élément d₀ = au₀ + bv₀. Il suffit alors de montrer que d₀ = d.
La division euclidienne de a par d₀ s'écrit a = d₀q + r avec 0 ≤ r < d₀. L'entier naturel r = a – d₀q = a(1 – u₀q) + b(–v₀q) est strictement inférieur à d₀, donc nul par définition de d₀, si bien que a est multiple de d₀. De même, d₀ divise b. C’est donc un diviseur commun à a et b.
Enfin, c’est le plus grand, au sens de l’ordre usuel et même au sens de la divisibilité, c'est-à-dire qu’il est multiple de tout entier divisant a et b, puisqu’un tel entier divise aussi au₀ + bv₀.

 

Théorème de Bézout

Début d’un théorème

Théorème

Deux entiers a et b sont premiers entre eux si, et seulement s'il existe deux entiers u et v tels que au + bv = 1.

$a\wedge b=1\Leftrightarrow \exists (u,v)\in \mathbb {Z} ^{2}\quad au+bv=1$.

Fin du théorème

Ce théorème est un cas particulier de l'identité de Bézout.

Début de l'exemple

Exemple

Soient $a=7$ et $b=9$

Avec $u=4$ et $v=-3$ on trouve $au+bv=1$ donc 7 et 9 sont premiers entre eux.

Fin de l'exemple

Début de l'exemple

Exemple

Démontrer que deux entiers consécutifs sont premiers entre eux.

On note $n$ et $n+1$ ces entiers.

On a : $1\times (n+1)-1\times n=1$.

Il existe donc une relation $un+v(n+1)=1$, donc $n$ et $n+1$ sont premiers entre eux.

Fin de l'exemple

Théorème de Gauss

Début d’un théorème

Théorème

Soient a, b et c trois entiers. Si a divise le produit bc et s'il est premier avec b, alors il divise c.

$\forall (a,b,c)\in \mathbb {N} ^{3}\quad \left(a|bc{\text{ et }}a\wedge b=1\right)\Rightarrow a|c$.

Fin du théorème

Démonstration

Question du BAC 2006 : Démontrez le théorème de Gauss en utilisant le théorème de Bézout.

On a $\operatorname {pgcd} (a,b)=1\Rightarrow au+bv=1$ avec $(u,v)\in \mathbb {Z} ^{2}$.

De plus, $a|bc\Rightarrow bc=aq$ avec $q\in \mathbb {Z} .$

${\begin{aligned}au+bv=1&\Rightarrow auc+bvc=c\\&\Rightarrow auc+aqv=c\\&\Rightarrow a(uc+vq)=c\\\end{aligned}}$

D'où $a|c$.

 

Corollaire

Soient a, b et c trois entiers. Si a est premier avec b et c alors il est premier avec le produit bc.

Démonstration

Soit $d=\operatorname {pgcd} \left(a,bc\right)$. Alors $d$ est, comme $a$, premier avec $b$. D'après le théorème de Gauss, il divise donc $c$. Puisque $d$ divise aussi $a$ (premier avec $c$), il est donc égal à 1. On a donc bien montré que $\operatorname {pgcd} \left(a,bc\right)=1$.

Alternativement, on peut utiliser l'identité de Bézout : si au + bv = 1 et au' + cv' = 1 alors a(auu' + ucv' + bvu') + bcvv' =1.

 

Corollaire

Soient a et b deux entiers. Si a est premier avec b alors a^m est premier avec bⁿ, pour tous entiers naturels m et n.