Arithmétique/Exercices/Théorème de Bézout
Exercice 6-1
modifier1° En utilisant l'algorithme d'Euclide, trouver une solution de l'équation :
- .
2° En déduire toutes les solutions de l'équation :
- .
1° Effectuons les divisions successives des quotients successifs par les restes successifs :
- .
En repartant de la dernière relation, on obtient :
- .
Nous voyons que nous avons la relation de Bézout :
- .
Une solution de l'équation :
est donc :
2° Nous avons :
Par soustraction membre à membre, nous obtenons :
qui peut s'écrire :
- .
Nous en déduisons que 31 divise 17(11-x) tout en étant premier avec 17, donc d'après le théorème de Gauss, 31 divise 11-x. Il existe donc k tel que :
- .
On obtient donc :
- .
En portant cette valeur de dans :
- ,
on obtient :
qui donne :
- .
On a obtenu :
Résoudre de même dans :
- .
L'algorithme d'Euclide donne
puis en remontant :
- .
Par conséquent,
- .
Exercice 6-2
modifierRésoudre l'équation :
- .
On peut remarquer que :
- ,
- ,
- ,
En simplifiant par : , l'équation se réécrit :
- .
Une solution évidente est x=4 et y=2 L'équation équivaut donc à :
- ,
dont les solutions sont :
- .
Exercice 6-3
modifierRésoudre l'équation : .
L'équation peut s'écrire : .
Comme 3 n'est pas un diviseur de 16, l'équation n'a pas de solution.
Exercice 6-4
modifierTrouvez tous les nombres dont le reste de la division par 13 est 1 et dont le reste de la division par 7 est 6.
Soit x un des nombres cherchés. Si le reste de sa division par 13 est 1, cela signifie qu'il existe un entier u tel que :
- .
Si le reste de sa division par 7 est 6, cela signifie qu'il existe un entier v tel que :
- .
On a alors :
- ,
qui s'écrit : .
Nous tombons sur une équation dont nous avons vu la méthode de résolution dans les exercices précédents ; on trouve :
et en remplaçant dans les expressions de x, on trouve :
Mais une méthode plus efficace est celle des substitutions successives : voir l'exercice 9-10 sur les congruences.
Trouver de même :
- tous les nombres dont le reste de la division par 4 est 3 et dont le reste de la division par 7 est 4 ;
- tous les nombres dont le reste de la division par 6 est 4 et dont le reste de la division par 15 est 8 ;
- tous les nombres dont le reste de la division par 4 est 1 et dont le reste de la division par 7 est 4 ;
- tous les nombres dont le reste de la division par 5 est 4, dont le reste de la division par 6 est 3 et dont le reste de la division par 7 est 2.
- On cherche les couples d'entiers tels que , c'est-à-dire . On trouve une solution particulière de l'identité de Bézout grâce à l'algorithme d'Euclide étendu : , , donc en remontant : , donc l'équation initiale équivaut à , c'est-à-dire et les solutions sont : et , soit finalement ( ).
Autre méthode : parmi les entiers de 0 à 27, ceux qui sont congrus à 4 mod 7 sont 4, 11, 18, 25 et ceux congrus à 3 mod 4 sont 3, 10, 11, 15, 19, 23, 27. On a la solution en prenant l'intersection : . - : pas de solution.
- et les solutions sont : et , soit finalement ( ).
Autre méthode : parmi les entiers de 0 à 27, ceux qui sont congrus à 4 mod 7 sont 4, 11, 18, 25 et parmi eux, le seul congru à 1 mod 4 est 25… - , puis .
Exercice 6-5
modifierRésoudre dans : . et donc
une solution est .
Les autres sont données par avec , c'est-à-dire .
Lien externe
modifier« Calculatrice de l'identité de Bézout », sur dcode.fr