Anneau (mathématiques)/Anneau principal

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Anneau principal
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Chapitre no 4
Leçon : Anneau (mathématiques)
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Anneau principal

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Début de l'exemple
Fin de l'exemple


On va généraliser à un anneau principal quelconque toutes les propriétés de   vues dans la leçon « Arithmétique ». Ce sont aussi les propriétés de   du chapitre « Arithmétique des polynômes » de la leçon sur les polynômes.

Dans la suite,   désigne un anneau principal et   une famille (finie ou infinie) d'éléments de  .

PGCD, PPCM

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Un élément   est un diviseur commun aux   si et seulement si  , c'est-à-dire si l'idéal engendré par les   est inclus dans  . En notant   un générateur de cet idéal, les diviseurs communs aux   sont donc les diviseurs de  . Cela nous mène à la définition suivante :


Attention à ne pas confondre la notion de « premiers entre eux dans leur ensemble » avec la notion de « premiers entre eux deux à deux ».

Par un raisonnement analogue à ce qui précède, les multiples communs des   sont les multiples de tout générateur de l'idéal  .


Arithmétique dans un anneau principal

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Par définition, le pgcd des   appartient à l'idéal qu'ils engendrent, autrement dit :

Par conséquent (puisque le seul idéal de A qui contient 1 est A) :

Début d’un théorème
Fin du théorème


Par la même méthode que dans  , on en déduit :

Début d’un théorème
Fin du théorème



Factorialité de A, décomposition primaire

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Début de l'exemple
Fin de l'exemple


Début d'un lemme
Fin du lemme


Dans les anneaux principaux, on dispose du théorème de factorisation primaire :

Début d’un théorème
Fin du théorème

Cette décomposition d'un élément s’appelle sa décomposition primaire. Il s'agit de la généralisation aux anneaux principaux du théorème selon lequel tout entier > 1 est le produit d'une suite finie (non vide) de nombres premiers, unique à l’ordre près.

Remarque.
Si, pour chaque idéal engendré par un élément irréductible, on choisit un générateur parmi les représentants irréductibles possibles, et si l'on note   leur ensemble (par exemple, dans  , on choisit le générateur positif et dans  , on choisit le générateur unitaire), alors le théorème peut se reformuler ainsi :
Soit  . Il existe un unique élément inversible   et une unique application   de   dans   à support fini (c'est-à-dire nulle en dehors d'une partie finie de  ) telle que  .
  étant en général infini, le produit étendu sur   doit s'entendre comme la valeur commune des produits étendus à toute partie finie contenant le support de  , c'est-à-dire l’ensemble des   tels que   soit non nul.

Pour démontrer ce théorème, nous aurons besoin des deux lemmes suivants :

Début d'un lemme
Fin du lemme


En effet, un anneau commutatif A :


Le lemme 2 fait appel à la notion de ACCP ou « condition de chaîne ascendante sur les idéaux principaux » (version affaiblie de la noethérianité) :

Début d'un lemme
Fin du lemme

On peut enfin démontrer la factorialité de tout anneau principal ou — plus généralement d'après le lemme 1 — de tout anneau intègre vérifiant les deux propriétés suivantes :

  1. ACCP (toute suite croissante d'idéaux principaux est stationnaire) ;
  2. lemme d'Euclide (tout élément irréductible est premier).