Anneau (mathématiques)/Anneau principal

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Anneau principal
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Chapitre no 4
Leçon : Anneau (mathématiques)
Chap. préc. :Idéal d’un anneau commutatif
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Anneau principalModifier


Début de l'exemple
Fin de l'exemple


On va généraliser à un anneau principal quelconque toutes les propriétés de   vues dans la leçon « Arithmétique ». Ce sont aussi les propriétés de   du chapitre « Arithmétique des polynômes » de la leçon sur les polynômes.

Dans la suite,   désigne un anneau principal et   une famille (finie ou infinie) d'éléments de  .

PGCD, PPCMModifier

Un élément   est un diviseur commun aux   si et seulement si  , c'est-à-dire si l'idéal engendré par les   est inclus dans  . En notant   un générateur de cet idéal, les diviseurs communs aux   sont donc les diviseurs de  . Cela nous mène à la définition suivante :


Attention à ne pas confondre la notion de « premiers entre eux dans leur ensemble » avec la notion de « premiers entre eux deux à deux ».

Par un raisonnement analogue à ce qui précède, les multiples communs des   sont les multiples de tout générateur de l'idéal  .


Arithmétique dans un anneau principalModifier

Par définition, le pgcd des   appartient à l'idéal qu'ils engendrent, autrement dit :

Par conséquent (puisque le seul idéal de A qui contient 1 est A) :

Début d’un théorème
Fin du théorème


Par la même méthode que dans  , on en déduit :

Début d’un théorème
Fin du théorème



Factorialité de A, décomposition primaireModifier


Début de l'exemple
Fin de l'exemple


Début d'un lemme
Fin du lemme


Dans les anneaux principaux, on dispose du théorème de factorisation primaire :

Début d’un théorème
Fin du théorème

Cette décomposition d'un élément s’appelle sa décomposition primaire. Il s'agit de la généralisation aux anneaux principaux du théorème selon lequel tout entier > 1 est le produit d'une suite finie (non vide) de nombres premiers, unique à l’ordre près.

Remarque.
Si, pour chaque idéal engendré par un élément irréductible, on choisit un générateur parmi les représentants irréductibles possibles, et si l'on note   leur ensemble (par exemple, dans  , on choisit le générateur positif et dans  , on choisit le générateur unitaire), alors le théorème peut se reformuler ainsi :
Soit  . Il existe un unique élément inversible   et une unique application   de   dans   à support fini (c'est-à-dire nulle en dehors d'une partie finie de  ) telle que  .
  étant en général infini, le produit étendu sur   doit s'entendre comme la valeur commune des produits étendus à toute partie finie contenant le support de  , c'est-à-dire l’ensemble des   tels que   soit non nul.

Pour démontrer ce théorème, nous aurons besoin des deux lemmes suivants :

Début d'un lemme
Fin du lemme


En effet, un anneau commutatif A :


Le lemme 2 fait appel à la notion de ACCP ou « condition de chaîne ascendante sur les idéaux principaux » (version affaiblie de la noethérianité) :

Début d'un lemme
Fin du lemme

On peut enfin démontrer la factorialité de tout anneau principal ou — plus généralement d'après le lemme 1 — de tout anneau intègre vérifiant les deux propriétés suivantes :

  1. ACCP (toute suite croissante d'idéaux principaux est stationnaire) ;
  2. lemme d'Euclide (tout élément irréductible est premier).