Anneau (mathématiques)/Anneau principal

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Anneau principal

Définition

Un anneau principal est un anneau commutatif intègre dont tous les idéaux sont principaux.

Début de l'exemple

Exemples

On a vu au chapitre précédent qu'il existe des anneaux commutatifs intègres non principaux.

L'anneau $\mathbb {Z}$ des entiers relatifs et l'anneau $K\left[X\right]$ des polynômes à coefficients dans un corps commutatif $K$ sont des anneaux principaux et même euclidiens.

Fin de l'exemple

On va généraliser à un anneau principal quelconque toutes les propriétés de $\mathbb {Z}$ vues dans la leçon « Arithmétique ». Ce sont aussi les propriétés de $K\left[X\right]$ du chapitre « Arithmétique des polynômes » de la leçon sur les polynômes.

Dans la suite, $A$ désigne un anneau principal et $\left(a_{i}\right)_{i\in I}$ une famille (finie ou infinie) d'éléments de $A$.

PGCD, PPCM

Un élément $a\in A$ est un diviseur commun aux $a_{i}$ si et seulement si $\forall i\in I\quad a_{i}\in (a)$, c'est-à-dire si l'idéal engendré par les $a_{i}$ est inclus dans $(a)$. En notant $d$ un générateur de cet idéal, les diviseurs communs aux $a_{i}$ sont donc les diviseurs de $d$. Cela nous mène à la définition suivante :

Définition du PGCD

On appelle plus grand diviseur commun — ou pgcd — des $a_{i}$ tout générateur (unique à produit près par un inversible) de l'idéal engendré par cette famille. C'est « le » plus grand (pour le préordre « divise ») des diviseurs communs aux $a_{i}$. On le note $\mathrm {pgcd} \left({\left(a_{i}\right)_{i\in I}}\right)$.

On note parfois $a\wedge b$ (ou $b\land a$) le pgcd de deux éléments $a$ et $b$.

On dit que les $a_{i}$ sont premiers entre eux dans leur ensemble si leur pgcd est 1.

Attention à ne pas confondre la notion de « premiers entre eux dans leur ensemble » avec la notion de « premiers entre eux deux à deux ».

Propriétés

• L'opérateur pgcd est « associatif », au sens suivant : si $I=\cup _{j\in J}I_{j}$ alors $\mathrm {pgcd} \left(a_{i}\right)_{i\in I}=\mathrm {pgcd} \left(b_{j}\right)_{j\in J}$, où $b_{j}:=\mathrm {pgcd} \left(a_{i}\right)_{i\in I_{j}}$.
• Pour tout $k\in A$, $\mathrm {pgcd} \left({\left(ka_{i}\right)_{i\in I}}\right)=k\;\mathrm {pgcd} \left({\left(a_{i}\right)_{i\in I}}\right)$.

Par un raisonnement analogue à ce qui précède, les multiples communs des $a_{i}$ sont les multiples de tout générateur de l'idéal $\cap _{i\in I}\left(a_{i}\right)$.

Définition du PPCM

On appelle plus petit multiple commun — ou ppcm — des $a_{i}$ tout générateur (unique à produit près par un inversible) de $\cap _{i\in I}\left(a_{i}\right)$. C'est « le » plus petit (pour le préordre « divise ») des multiples communs aux $a_{i}$. On le note $\mathrm {ppcm} \left({\left(a_{i}\right)_{i\in I}}\right)$.

On note parfois $a\vee b$ (ou $b\vee a$) le ppcm de deux éléments $a$ et $b$.

Propriétés

• L'opérateur ppcm est « associatif », au sens suivant : si $I=\cup _{j\in J}I_{j}$ alors $\mathrm {ppcm} \left(a_{i}\right)_{i\in I}=\mathrm {ppcm} \left(b_{j}\right)_{j\in J}$, où $b_{j}:=\mathrm {ppcm} \left(a_{i}\right)_{i\in I_{j}}$.
• Pour tout $k\in A$, $\mathrm {ppcm} \left({\left(ka_{i}\right)_{i\in I}}\right)=k\;\mathrm {ppcm} \left({\left(a_{i}\right)_{i\in I}}\right)$.

Arithmétique dans un anneau principal

Par définition, le pgcd des $a_{i}$ appartient à l'idéal qu'ils engendrent, autrement dit :

Identité de Bézout

Il existe des $u_{i}\in A$, nuls sauf un nombre fini d'entre eux, tels que $\operatorname {pgcd} \left(a_{i}\right)_{i\in I}=\sum _{i\in I}u_{i}a_{i}$.

Par conséquent (puisque le seul idéal de A qui contient 1 est A) :

Début d’un théorème

Théorème de Bézout

Les $a_{i}$ sont premiers entre eux dans leur ensemble si et seulement s'il existe des $u_{i}\in A$, nuls sauf un nombre fini d'entre eux, tels que $\sum _{i\in I}u_{i}a_{i}=1$.

Fin du théorème

Par la même méthode que dans $\mathbb {Z}$, on en déduit :

Début d’un théorème

Théorème de Gauss

Soient $a,b,c\in A$. Si $a|bc$ et si $a$ et $b$ sont premiers entre eux, alors $a|c$.

Fin du théorème

Corollaire

Un élément de $A$ est premier avec un produit si (et seulement si) il est premier avec chaque facteur.

Démonstration

Supposons que $b$ est premier avec chacun des éléments $a_{1},\dots ,a_{n}$ et démontrons, par récurrence sur $k\leq n$, qu'il est premier avec le produit $a_{1}\dots a_{k}$.

• Initialisation : pour $k=0$, c'est clair (avec la convention du produit vide égal à $1$).
• Hérédité : supposons que $b$ est premier avec $a:=a_{1}\dots a_{k}$ pour un certain $k<n$ et montrons qu'il est encore premier avec $aa_{k+1}$. Soit $d$ un diviseur commun à $b$ et $aa_{k+1}$. Alors $d$ est, comme $b$, premier avec $a$. D'après le lemme de Gauss, il divise donc $a_{k+1}$. Puisque $d$ divise aussi $b$ (premier avec $a_{k+1}$), il est donc inversible. On a donc bien montré que $\operatorname {pgcd} \left(b,aa_{k+1}\right)=1$.

 

Propriété

Si n éléments de A sont premiers entre eux deux à deux, alors leur PPCM est leur produit.

Démonstration

Même méthode que pour A = Z : voir Arithmétique/Exercices/Divers#Exercice 11-8.

 

Factorialité de A, décomposition primaire

Définition

On appelle éléments irréductibles de $A$ les éléments $x$ non nuls qui ne sont pas inversibles et dont les seuls diviseurs sont les éléments inversibles de $A$ et les éléments associés à $x$.

Début de l'exemple

Exemple

• Les éléments irréductibles de $\mathbb {Z}$ sont les nombres premiers et leurs opposés. Le concept d'éléments irréductibles est la généralisation aux anneaux intègres des nombres premiers.
• Les éléments irréductibles de $\mathbb {C} [X]$ sont, d’après le théorème de D'Alembert-Gauss, les polynômes de degré 1.

Fin de l'exemple

Début d'un lemme

Lemme d'Euclide

Dans un anneau vérifiant le lemme de Gauss, tout élément p irréductible est premier, c'est-à-dire que pour tout produit divisible par p, l'un des facteurs est divisible par p.

Fin du lemme

Démonstration

Soit p un élément irréductible qui divise un produit $a_{1}\dots a_{n}$. Alors, p n'est pas premier avec ce produit donc d'après le corollaire ci-dessus du lemme de Gauss, il n'est pas premier avec (au moins) l'un des facteurs, $a_{i}$. Il existe alors, parmi les diviseurs de $a_{i}$, un diviseur de p non inversible, donc associé à p. Par conséquent, p divise $a_{i}$.

 

Dans les anneaux principaux, on dispose du théorème de factorisation primaire :

Début d’un théorème

Théorème : tout anneau principal est factoriel.

Tout élément d'un anneau principal $A$ non nul et non inversible est un produit d'éléments irréductibles, la suite de ces facteurs irréductibles étant unique à association et à l’ordre près. On dit que $A$ est factoriel.

Fin du théorème

Cette décomposition d'un élément s’appelle sa décomposition primaire. Il s'agit de la généralisation aux anneaux principaux du théorème selon lequel tout entier > 1 est le produit d'une suite finie (non vide) de nombres premiers, unique à l’ordre près.

Remarque.

Si, pour chaque idéal engendré par un élément irréductible, on choisit un générateur parmi les représentants irréductibles possibles, et si l'on note $P$ leur ensemble (par exemple, dans $\mathbb {Z}$, on choisit le générateur positif et dans $K[X]$, on choisit le générateur unitaire), alors le théorème peut se reformuler ainsi :

Soit $x\in A\setminus \{0\}$. Il existe un unique élément inversible $u$ et une unique application $\alpha$ de $P$ dans $\mathbb {N}$ à support fini (c'est-à-dire nulle en dehors d'une partie finie de $P$) telle que $x=u\prod _{p\in P}p^{\alpha (p)}$.

$P$ étant en général infini, le produit étendu sur $P$ doit s'entendre comme la valeur commune des produits étendus à toute partie finie contenant le support de $\alpha$, c'est-à-dire l’ensemble des $p$ tels que $\alpha (p)$ soit non nul.

Pour démontrer ce théorème, nous aurons besoin des deux lemmes suivants :

Début d'un lemme

Lemme 1 : tout anneau principal est noethérien.

Dans un anneau principal, toute suite croissante d'idéaux est stationnaire.

Fin du lemme

En effet, un anneau commutatif A :

• est dit noethérien si tous ses idéaux sont de type fini, ce qui est évidemment le cas pour un anneau principal ;
• est noethérien (si et) seulement si toute suite croissante d'idéaux de A est stationnaire.

Le lemme 2 fait appel à la notion de ACCP ou « condition de chaîne ascendante sur les idéaux principaux » (version affaiblie de la noethérianité) :

Début d'un lemme

Lemme 2 : tout anneau intègre vérifiant ACCP est atomique.

Dans un anneau intègre, si toute suite croissante d'idéaux principaux est stationnaire alors tout élément non nul et non inversible est produit d'irréductibles.

Fin du lemme

Démonstration

Raisonnant par l'absurde, supposons qu’il existe un élément $x$, non nul et non inversible, qui n'admet pas de factorisation primaire. En particulier, $x$ n'est pas irréductible donc il s'écrit $yz$ avec $y$ et $z$ non inversibles. On a alors $(x)\subsetneq (y)$ et $(x)\subsetneq (z)$ et, puisque $x$ n'a pas de factorisation primaire, l'un (au moins) des deux facteurs $y$ ou $z$, par exemple $y$, n'en a pas non plus. En refaisant le même raisonnement pour $y$, il existe $w$, non inversible et n'admettant pas de factorisation primaire, tel que $(y)\subsetneq (w)$. On construit ainsi par récurrence une suite strictement croissante d'idéaux principaux, ce qui contredit la condition ACCP.

 

On peut enfin démontrer la factorialité de tout anneau principal ou — plus généralement d'après le lemme 1 — de tout anneau intègre vérifiant les deux propriétés suivantes :

1. ACCP (toute suite croissante d'idéaux principaux est stationnaire) ;
2. lemme d'Euclide (tout élément irréductible est premier).

Preuve du théorème de factorialité

• Existence. D'après le lemme 2, l'hypothèse ACCCP garantit l'existence d'une factorisation.
• Unicité. Montrons, par récurrence sur n ≥ 1, que si $p_{1}\dots p_{n}=q_{1}\dots q_{m}$ avec m ≥ n et $p_{i}$, $q_{j}$ irréductibles, alors m = n et les deux n-uplets d'irréductibles sont égaux, à permutation et association près.
  • Si n = 1, c'est immédiat.
  • Supposons la proposition démontrée à l'ordre n – 1 pour un certain n > 1, et montrons-la à l'ordre n. L'élément p_n divise le produit q₁ …q_m. Comme (d'après la seconde hypothèse — lemme d'Euclide) p_n est premier, il divise l'un des q_k : par exemple (quitte à permuter les facteurs) q_m = up_n et (comme q_m est irréductible) u est inversible, donc q_m–1u est irréductible. L'égalité suivante et l'hypothèse de récurrence permettent de conclure : $p_{1}\dots p_{n-1}=q_{1}\dots q_{m-2}\left(q_{m-1}u\right)$.