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Exercice : Réels et imaginaires pursCalcul avec les nombres complexes/Exercices/Réels et imaginaires purs », n'a pu être restituée correctement ci-dessus.
Comment choisir l’entier naturel n {\displaystyle n} pour que :
( 3 + i ) n {\displaystyle ({\sqrt {3}}+\mathrm {i} )^{n}}
1° soit un réel positif ?
2° soit un imaginaire pur ?
Solution
( 3 + i ) n = 2 n e i n π / 6 {\displaystyle ({\sqrt {3}}+\mathrm {i} )^{n}=2^{n}\mathrm {e} ^{\mathrm {i} n\pi /6}} est :
1° réel positif si n π 6 ≡ 0 mod 2 π {\displaystyle {\frac {n\pi }{6}}\equiv 0\mod {2\pi }} , c'est-à-dire 12 ∣ n {\displaystyle 12\mid n} ;
2° imaginaire pur si n π 6 ≡ π 2 mod π {\displaystyle {\frac {n\pi }{6}}\equiv {\frac {\pi }{2}}\mod {\pi }} , c'est-à-dire n ≡ 3 mod 6 {\displaystyle n\equiv 3\mod 6} .
z {\displaystyle z} étant un nombre complexe non réel, on considère les nombres z 1 {\displaystyle z_{1}} et z 2 {\displaystyle z_{2}} définis par :
{ z 1 = z 2 z + 1 z 2 = 1 z ( z + 1 ) . {\displaystyle {\begin{cases}z_{1}={\frac {z^{2}}{z+1}}\\z_{2}={\frac {1}{z\left(z+1\right)}}.\end{cases}}} Déterminez z {\displaystyle z} tel que z 1 {\displaystyle z_{1}} et z 2 {\displaystyle z_{2}} soient tous deux réels. Dans ce cas, déterminez z 1 {\displaystyle z_{1}} et z 2 {\displaystyle z_{2}} .
Solution
z 1 = z 3 z 2 {\displaystyle z_{1}=z^{3}z_{2}} donc
z 1 , z 2 ∈ R ⇔ z 2 , z 3 ∈ R ⇔ z ( z + 1 ) , z 3 ∈ R ⇔ z 2 + z + 1 , z 3 − 1 ∈ R ⇔ z 2 + z + 1 , ( z 2 + z + 1 ) ( z − 1 ) ∈ R ⇔ z 2 + z + 1 = 0 {\displaystyle {\begin{aligned}z_{1},z_{2}\in \mathbb {R} &\Leftrightarrow z_{2},z^{3}\in \mathbb {R} \\&\Leftrightarrow z\left(z+1\right),z^{3}\in \mathbb {R} \\&\Leftrightarrow z^{2}+z+1,z^{3}-1\in \mathbb {R} \\&\Leftrightarrow z^{2}+z+1,\left(z^{2}+z+1\right)\left(z-1\right)\in \mathbb {R} \\&\Leftrightarrow z^{2}+z+1=0\end{aligned}}} (car par hypothèse, z − 1 ∉ R {\displaystyle z-1\notin \mathbb {R} } ).
Les solutions z {\displaystyle z} sont donc e i 2 π / 3 {\displaystyle \operatorname {e} ^{\mathrm {i} 2\pi /3}} et e − i 2 π / 3 {\displaystyle \operatorname {e} ^{-\mathrm {i} 2\pi /3}} , et dans les deux cas, z 1 = z 2 = − 1 {\displaystyle z_{1}=z_{2}=-1} .
Soit f {\displaystyle f} l'application de C ∖ { + 1 } {\displaystyle \mathbb {C} \backslash \{+1\}} dans C {\displaystyle \mathbb {C} } définie par :
f ( z ) = z + 1 z ¯ − 1 {\displaystyle f(z)={\frac {z+1}{{\bar {z}}-1}}} Soit M l'image de z {\displaystyle z} dans le plan complexe.
1° Déterminez l'ensemble des points M tels que f ( z ) {\displaystyle f(z)} soit réel.
2° Déterminez l'ensemble des points M tels que f ( z ) {\displaystyle f(z)} soit imaginaire pur.
Solution
Soient ( x , y ) {\displaystyle \left(x,y\right)} les coordonnées de M .
f ( z ) ∈ R ⇔ z + 1 z ¯ − 1 = z ¯ + 1 z − 1 ⇔ z 2 − 1 = z ¯ 2 − 1 ⇔ z 2 ∈ R ⇔ x y = 0 {\displaystyle f(z)\in \mathbb {R} \Leftrightarrow {\frac {z+1}{{\bar {z}}-1}}={\frac {{\bar {z}}+1}{z-1}}\Leftrightarrow z^{2}-1={\bar {z}}^{2}-1\Leftrightarrow z^{2}\in \mathbb {R} \Leftrightarrow xy=0} (union des deux axes).
f ( z ) ∈ i R ⇔ z + 1 z ¯ − 1 = − z ¯ + 1 z − 1 ⇔ z 2 − 1 = 1 − z ¯ 2 ⇔ z 2 + z ¯ 2 = 2 ⇔ Re ( z 2 ) = 1 ⇔ x 2 − y 2 = 1 {\displaystyle f(z)\in \mathrm {i} \mathbb {R} \Leftrightarrow {\frac {z+1}{{\bar {z}}-1}}=-{\frac {{\bar {z}}+1}{z-1}}\Leftrightarrow z^{2}-1=1-{\bar {z}}^{2}\Leftrightarrow z^{2}+{\bar {z}}^{2}=2\Leftrightarrow \operatorname {Re} \left(z^{2}\right)=1\Leftrightarrow x^{2}-y^{2}=1} (hyperbole).
1° Soit n {\displaystyle n} , entier naturel. Démontrez que :
( 1 + i ) n + ( 1 − i ) n {\displaystyle (1+\mathrm {i} )^{n}+(1-\mathrm {i} )^{n}} est réel ;
( 1 + i ) n − ( 1 − i ) n {\displaystyle (1+\mathrm {i} )^{n}-(1-\mathrm {i} )^{n}} est imaginaire pur.2° Calculez : ( n 0 ) − ( n 2 ) + ( n 4 ) − ( n 6 ) + ⋯ {\displaystyle {\binom {n}{0}}-{\binom {n}{2}}+{\binom {n}{4}}-{\binom {n}{6}}+\cdots } et ( n 1 ) − ( n 3 ) + ( n 5 ) − ( n 7 ) + ⋯ {\displaystyle {\binom {n}{1}}-{\binom {n}{3}}+{\binom {n}{5}}-{\binom {n}{7}}+\cdots } .
Chaque somme est finie ; le dernier terme dépend de la parité de n {\displaystyle n} .