Calcul avec les nombres complexes/Exercices/Réels et imaginaires purs

Réels et imaginaires purs
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Exercices no3
Leçon : Calcul avec les nombres complexes

Exercices de niveau 13.

Exo préc. :Sur les modules et arguments
Exo suiv. :Sur la résolution d'équation
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Calcul avec les nombres complexes/Exercices/Réels et imaginaires purs
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Exercice 3-1Modifier

Comment choisir l’entier naturel   pour que :

 

 soit un réel positif ?

 soit un imaginaire pur ?


Exercice 3-2Modifier

  étant un nombre complexe non réel, on considère les nombres   et   définis par :

 

Déterminez   tel que   et   soient tous deux réels. Dans ce cas, déterminez   et  .

Exercice 3-3Modifier

Soient   et   deux nombres complexes. On suppose  .

  1. Démontrez que  .
  2. Étudiez de même :  .

Exercice 3-4Modifier

 Déterminez l’ensemble des valeurs de  , nombre complexe, pour lesquelles   est défini. Dans ce cas, calculez  .

 Déterminez l'ensemble des valeurs de   :

  1. pour lesquelles   est réel ;
  2. pour lesquelles   est imaginaire pur.

Exercice 3-5Modifier

Soit   l'application de   dans   définie par :

 .

Soit M l'image de   dans le plan complexe.

 Déterminez l'ensemble des points M tels que   soit réel.

 Déterminez l'ensemble des points M tels que   soit imaginaire pur.

Exercice 3-6Modifier

Soit   l'application de   dans   définie par :

 

Soit M l'image de   dans le plan complexe.

 Déterminez l'ensemble des points M tels que   soit réel.

 Déterminez l'ensemble des points M tels que   soit imaginaire pur.

Exercice 3-7Modifier

 Soit  , entier naturel. Démontrez que :

  est réel ;
  est imaginaire pur.

 Calculez :   et  .

Chaque somme est finie ; le dernier terme dépend de la parité de  .